Question

triunghiul ABC unghiul a =90° Ad penperdicular cu BC Am bis BAD si AN bis DAC
Aratati ca ADN e isoscel
Aratati ca AMO este isoscel
DAU COROANA!​

Answer 1

Raspuns:

Ai mai jos explicatia, am incercat sa iti răspund într-un mod cat mai frumos

Explicație pas cu pas:

Triunghiuri congruente.

Pentru a arăta că triunghiul ADN este isoscel, trebuie să arătăm că DN = AN.

Din construcție, avem că AD este perpendicular pe BC, deci triunghiul ADB este dreptunghi. Prin urmare, din teorema lui Pitagora, avem AB^2 = AD^2 + BD^2. Dar deoarece BD este egal cu BC - CD, obținem AB^2 = AD^2 + (BC - CD)^2.

De asemenea, știm că BD este bisectoarea unghiului ABC, deci avem BD / DC = AB / AC (din teorema bisectoarei). Deoarece unghiul ABC este drept, avem AC = BC, deci BD = CD și AB^2 = AD^2. Prin urmare, DN = AN, ceea ce înseamnă că triunghiul ADN este isoscel.

Pentru a arăta că triunghiul AMO este isoscel, trebuie să arătăm că AM = MO.

Deoarece AM este bisectoarea unghiului BAD, avem că unghiul BAM este egal cu unghiul DAM. De asemenea, deoarece AN este bisectoarea unghiului DAC, avem că unghiul DAN este egal cu unghiul CAN.

Dar unghiurile BAM și CAN sunt opuse la vârf, deci sunt egale. La fel, unghiurile DAM și ANM sunt opuse la vârf și sunt egale. Prin urmare, unghiurile BAM și ANM sunt egale, ceea ce înseamnă că triunghiurile ABM și AMN sunt asemenea, prin unghi - unghi - unghi.

Astfel, avem AM / AB = AN / AM, ceea ce înseamnă că AM^2 = AB x AN. Dar, deoarece triunghiul ABC este dreptunghi, avem AB = AC^2 / BC. Deci, AM^2 = AC^2 x AN / BC.

De asemenea, avem MO^2 = AC^2 - OM^2. Dar OM este perpendicular pe AC, deci triunghiul AOM este asemenea cu triunghiul ABC. Astfel, avem OM / AC = AM / AB, deci OM = AC x AM / AB.

Înlocuind valorile de mai sus, obținem:

AM^2 = AC^2 x AN / BC = AC x AM x (AC / BC) x AN / AB = OM^2

Prin urmare, triunghiul AMO este isoscel, cu AM = MO.