Question

triunghiul ABC vectori AB+AC si AB-AC sunt egali in modul. Demonstrati ca triunghiul ABC dreptunghic

Answer 1

AB+AC=AD conf.reguli [paralelogramului  unde  ABDC este  un  paralelogram
AB-AC=BC  si  BC  este  diagonala in  paralelogramul ABDC
AD=BC
Paralelogramul  cu diagonalele  egale  se  numeste dreptunghi,Daca  ABDC  dreptunghi =><B=90  grd  =>ABC tri  dreptunghic

Answer 2

Atunci cand inmultesti 2 vectori a si b, produsul lor scalar sa zicem c are urmatoarea formula
$c=\vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|*|\vec{b}|*\cos{\alpha}$
unde primii doi termeni sunt modulele vectorilor a si b iar al trelea este cosinusul unghiului dintre cei doi vectori notat cu alpha
Observi ca daca avem produsul scalar dintre un vector si el insusi
$c=\vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|*|\vec{a}|*\cos{0}=|\vec{a}|^{2}*1=|\vec{a}|^{2}$
Stiind aceste lucruri, hai sa ridicam la patrati relatia data in enunt
$\vec{AB}+\vec{AC}=\vec{AB}-\vec{AC}\Rightarrow (\vec{AB}+\vec{AC})^{2}=(\vec{AB}-\vec{AC})^{2}\Rightarrow \vec{AB}^{2}+\vec{AC}^{2}+2\vec{AB}*\vec{AC} =\vec{AB}^{2}+\vec{AC}^{2}-2\vec{AB}*\vec{AC} =\Rightarrow|\vec{AB}|^{2}+|\vec{AC}|^{2}+2|\vec{AB}|*|\vec{AC}|\cos{\alpha}=|\vec{AB}|^{2}+|\vec{AC}|^{2}-2|\vec{AB}|*|\vec{AC}|\cos{\alpha}$
Dar stim ca
$|\vec{AB}|=AB$
$|\vec{AC}|=AC$
atunci
$AB^{2}+AC^{2}+2AB*AC*\cos{\alpha}=AB^{2}+AC^{2}-2AB*AC*\cos{\alpha}\Rightarrow 2AB*AC*\cos{\alpha}=-2AB*AC*\cos{\alpha}\Rightarrow 4*AB*AC*\cos{\alpha}=0\Rightarrow<span>\cos{\alpha}=0\Rightarrow\alpha=90</span>$
deci unghiul dintre AB si AC este de 90 grade, atunci BAC este dreptunghic cu catetele AB si AC.