Question

Triunghiul dreptunghic ABC, m(∡A)=90°, are m(∡B)=60° si inaltimea=a√3 (a>0). Calculati:
a)aria si perimetrul triungiului;
b)raportul $\dfrac{ A_{DEC} }{ A_{BAC} }$, daca DE⊥AC, E∈(AC)

Answer 1

Trebuie sa completăm toate unghiurile formate și să observăm că 

triunghiurile CBA, ABD, CAD sunt de forma (30, 60 90).

Cu teorema unghiului de 30°,  urmată de teorema lui Pitagora, noi vom determina lungimile laturilor:

BD=a, AB = 2a, BC = 4a, CD =3a, AC = 2a√3, DE =3a/2

(Observație:

Interiorizarea modelului Δ dr. cu ∡ de 30 ° fluidizează spectaculos rezolvarea.)

$\it \mathcal{A_{ABC}} = \dfrac{AB \cdot AC}{2} =\dfrac{2a\cdot 2a\sqrt3}{2} =2a^2\sqrt3\ cm^2$

$\it \mathcal{A}_{EDC} = \dfrac{ED \cdot DC\cdot\ sin 60^0}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3a}{2} \cdot3a \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{9a^2\sqrt3}{8}$

$\it \mathcal{P}_{ABC} = AB+BC+AC =2a+4a+2a\sqrt3=6a+2a\sqrt3.$


$\dfrac{\mathcal{A}_{EDC}}{\mathcal{A}_{BAC}} = \it\dfrac{9a^2\sqrt3}{8}\cdot\dfrac{1}{2a^2\sqrt3} =\dfrac{9}{16}$

Answer 2

$a)~Notam~AB=x. \\ \\ Atunci~BC=2x~(deoarece~AB~se~opune~unghiului~de~30 \textdegree), \\ \\ iar~AC= \sqrt{BC^2-AB^2}= \sqrt{4x^2-x^2}=x \sqrt{3}. \\ \\ Fie~M~mijlocul~lui~[BC] \Rightarrow AM= \frac{BC}{2}=BM. \\ \\ Din~AM=BM~si~m( \angle B)=60 \textdegree~rezulta~ca~ \Delta ABM~este \\ \\ echilateral.$

$AD \perp BM \Rightarrow AD-mediana~in~ \Delta~ABM \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow BD=DM= \frac{BM}{2}= \frac{x}{2}. \\ \\ Nu~stiu~daca~cunosti~urmatorul~rezultat:~"Lungimea~ \\ \\ inaltimii~unui~triunghi~echilateral~de~latura~l~este ~\frac{l \sqrt{3}}{2}." ,~asa \\ \\ ca~voi~aplica~T.Pitagora~in~\Delta ABD~pentru~a-l~afla~pe~x. \\ \\ BD^2+AD^2=AB^2 \Leftrightarrow \frac{x^2}{4}+3a^2=x^2 \Rightarrow \boxed{x=2a}~(se~putea \\ \\ calcula~si~astfel:~AB=\frac{AD}{sinB}).$

$Deci~AB=2a~;~AC=2a \sqrt{3}~si~BC=4a. \\ \\ P_{ABC}=2a+2a \sqrt{3}+4a=2a(3+ \sqrt{3}). \\ \\ A_{ABC}= \frac{AB \cdot AC}{2}= \frac{2a \cdot 2a \sqrt{3}}{2}=2a^2 \sqrt{3}.$

$b)~m( \angle BAC)= m( \angle DEC)=90 \textdegree~si~m(\angle BCA)= m( \angle DCE)\\ \\ (unghi~comun) \Rightarrow \Delta BAC \sim \Delta DEC. \\ \\ "Raportul~ariilor~a~doua~triunghiuri~asemenea~este~egal~cu \\ \\ patratul~raportului~de~asemanare." \\ \\Deci~ \frac{A_{DEC}}{A_{BAC}}= \Big(\frac{DC}{BC} \Big)^2= \Big( \frac{DM+MC}{BC} \Big)^2 = \Big( \frac{ \frac{x}{2}+x }{2x} \Big)^2= \frac{9}{16}.$