Question

Triunghiul echilateral ABC este inclus în planul alfa și este proiecția triunghiului DBC pe planul alfa.Fie E mijlocul segmentului [BC]. Se stie ca AB=12 cm și AD=8 cm
A) arătați ca BC perpendicular(DEA)
B) Aflați d(D, BC)
C) aflați aria triunghiului DBC

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

A) ΔABC echilateral. E mijlocul segmentului [BC], deci AE, mediana si inaltime, deci BC⊥AE. AE este proiectia oblicei DE pe planul (ABC). Atunci (dupa T3⊥) ⇒DE⊥BC. Dar DE si AE se contin in (DEA), dar daca BC este perpendiculara pe 2 drepte AE si DE, concurente, din planul (DEA), ⇒BC⊥(DEA).

B) d(D,BC)=???

Deoarece AB=AC, ca proiectiile oblicelor DB si DC, ⇒DB=DC, deci ΔDBC isoscel cu mediana DE, care este si inaltime in acest triunghi. Deci d(D,BC)=DE. Din ΔABD, dreptunghic in A, DB²=AB²+AD²=12²+8²=4²·3²+4²·2²=4²·(3²+2²)=4²·13.

Din ΔDBE, dreptunghic in E, DE²=DB²-BE²=4²·13-6²=2²·2²·13-2²·3²=2²·(2²·13-3²)=2²·(52-9)=2²·43, deci DE=2√43cm=d(D,BC).

C) Aria(ΔDBC)=(1/2)·BC·DE=(1/2)·12·2√43=12√43 cm²