Question

tu ai 10 cuti . poti pune in ele 54 de betisoare,astfel incat sa nu fie doua cutii cu acelasi numar de betisoare ? justifica

Answer 1

Aceeasi intrebare se poate transforma in: gaseste 10 numere naturale nenule distincte a caror suma sa fie 54.

[tex]S=a_1+a_2+...+a_{10}=54\\ a_k\in \mathbb{N}^*\ ,\ k=1...10\\ a_i \neq a_j \ , \ i\neq j\ , \ i,j=1...10[/tex]

Putem sa vedem care este cea mai mica astfel de suma care indeplineste conditiile. Astfel, putem lua numerele 1, 2, 3, ..., 10. Nu putem obtine o alta suma mai mica deoarece am extras deja cele mai mici 10 numere naturale nenule.

$S_{min}=1+2+3+...+10=\frac{10\cdot(10+1)}{2}=5\cdot11=55$

Stim ca suma minima este cea mai mica, asadar este mai mica decat oricare alta suma de 10 numere naturale nenule distincte, la fel ca si suma noastra:

$S_{min} < S$

In cazul nostru, S = 54:

$55 < 54$

Ceea ce este fals ==> Nu exista astfel de numere care sa indeplineasca conditiile de mai sus.