Question

Ultimul ex vă rog… am nevoie de rezolvare completă

Answer 1

Răspuns:

Pentru a răspunde la 224, se folosesc rezultatele de la 222, 223.

Mai întâi

$x_n=\displaystyle\left(2+\sqrt{3}\right)^n=C_n^02^n+C_n^22^{n-2}\cdot 3+C_n^{n-4}2^{n-4}\cdot 3^2+\ldots+\\+\left(C_n^12^{n-1}+C_n^{n-3}2^{n-3}+\ldots\right)\sqrt{3}$

Rezultă

$a_n=C_n^02^n+C_n^22^{n-2}\cdot 3+C_n^{n-4}\cdot 3^2+\ldots\\b_n=C_n^12^{n-1}+C_n^{n-3}+\ldots$

Deci răspunsul la 222 este B.

Se observă că $a_n-b_n\sqrt{3}=\left(2-\sqrt{3}\right)^n$

Atunci

$a_n^2-3b_n^2=\left(a_n-b_n\sqrt{3}\right)\left(a_n+b_n\sqrt{3}\right)=\left(2-\sqrt{3}\right)^n\left(2+\sqrt{3}\right)^n=\\=\left[\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)\right]^n=1$

Deci răspunsul la 223 este B.

Ecuația se mai scrie

$\left(x-y\sqrt{3}\right)\left(x+y\sqrt{3}\right)=1$

Ținând cont de 223, rezultă $x=a_n, \ y=b_n, \ \forall n\in\mathbb{N}$.

Deci sunt o infinitate de soluții.

Explicație pas cu pas: