Question

Ultimul exercitiu ... imi puteti explica va rog cum se face ?

Answer 1

2) Ti-am desenat figura in poza.
Luam pe rand triunghiurile EAD si FCD:
m(<EAD)=m(<EAB)+m(<BAD)
m(<BAD)=m(<D)=90° (Patratul are toate unghiurile drepte)
m(<EAB)=60° (Intr-un triunghi echilateral, toate laturile sunt egale si toate unghiurile au masura de 60°
=> m(<EAD)= 60° + 90° = 150° (1)

Analog ne uitam si in triunghiul FCD:
m(<FCD)=m(<FCB)+(<BCD)
m(<FCB)=60° (triunghi echilateral)
m(<BCD)=90°
=> m(<FCD)=60° + 90° => m(<FCD)=150° (2)

Din (1) si (2) => m(<EAD)=m(<FCD)=> <EAD≡<FCD (*)

[AD]≡[DC]
[AE]≡[CF] (Observand ca patratul are toate laturile egale si ca in cele doua triunghiuri echilaterale toate laturile sunt egale, atunci deducem ca cele doua laturi de mai sus sunt congruente - vezi in poza)
<EAD≡<FCD
Din aceste trei relatii ne rezulta (conform cazului L.U.L) =>
=> ΔEAD≡ΔFCD => DE = DF

b) Construiesti segmentul [EF]

In triunghiul EAD isoscel:
m(<AED)=m(<ADE)=x
m(<EAD)=150°
=> m(<EAD)+m(<AED)+m(<ADE)=180° => 150° + x + x = 180° => 150° + 2x = 180° => 2x = 180°-150°=> 2x = 30° | : 2 => x = 15° => m(<ADE)=15°

Deoarece triunghiurile EAD si FCD sunt congruente, rezulta de asemenea ca
<ADE≡<FDC => m(<ADE)=m(<FDC)=15°
Stim ca unghiul <ADC este drept(m(<ADC)=90°), deci il putem scrie ca o suma de trei masuri de unghiuri:
m(<ADC)=m(<ADE)+m(<EDF)+m(<FDC) <=>
<=> 90° = 15° + m(<EDF) + 15° => 30° + m(<EDF)=90° => m(<EDF)=90° - 30° => m(<EDF)=60°

Dar stim ca triunghiul DEF este isoscel (Deoarece am demonstrat ca DE=DF) si cu m(<EDF)=60°=> ΔDEF echilateral => m(<EDF)=m(<DEF)=m(<EFD)=60°

c) Construim [AF] diagonala in trapezul ACFE.
Un trapez are doua laturi paralele si doua neparalele.
Vom demonstra ca AC || EF.
Construim desigur si [AC] diagonala patratului.
Vom demonstra ca <CAF≡<AFE(alterne interne)
Mai intai, stim ca intr-un patrat, diagonala este bisectoare:
m(<CAD)=m(<BAD)/2 => m(<CAD)=45°
In triunghiul ABF isoscel cu m(<ABF)=150° (m(<ABF)=m(<ABC)+m(<CBF)=90 + 60), aflam masurile unghiurilor alaturate bazei [AF]:
m(<ABF)+m(<BAF)+m(<AFB)=180° => 150 + y + y = 180° => 2y = 180° - 150° => 2y = 30° => y=15° => m(<BAF)=m(<AFB)=15°

Stim ca m(<BAD)=90° si il scriem ca suma de masuri de unghiuri:
m(<BAD)=m(<CAD)+m(<CAF)+m(<BAF) => 
=> 90° = 45° + m(<CAF) + 15° => 60° + m(<CAF)=90° => m(<CAF)=30°(1*)

Observam mai departe ca unghiurile <ABC, <ABE, <EBC si <CBF sunt unghiuri in jurul unui punct.
Din clasa a VI-a am invatat ca suma masurilor unghiurilor in jurul unui punct este egala cu 360°.
=> m(<ABC)+m(<ABE)+m(<EBF)+m(<CBF)=360° =>
=> 90° + 60° + m(<EBF)+60° = 360° => 150° + 60° + m(<EBF)=360° =>
=> 210° + m(<EBF)=360° => m(<EBF)=360°-210° => m(<EBF)=150°

Dar triunghiul EBF este de asemenea isoscel, deci:
m(<EBF)+m(<BEF)+m(<EFB)=180° => 150° + z + z = 180° => 2z = 180°-150° => 2z = 30° => z = 15° => m(<EFB)=15°

Calculam m(<AFE) = m(<AFB)+m(<EFB) => m(<AFE)=15°+15° => => m(<AFE)=30°(2*)

Din (1*) si (2*) => m(<CAF)=m(<AFE)=30° => <CAF≡<AFE (unghiuri alterne interne) => AC || EF si AE ∦ CF => ACFE trapez
Dar AE = CF => ACFE trapez isoscel.

Proprietate de retinut intr-un triunghi isoscel:
Masurile unghiurilor alaturate bazei sunt congruente (egale).

Ti-am pus si a doua poza pentru ultimul subpunct.

Sper ca ai inteles!