Question

Ultimul exercitiu va rog am nevoie. Explicat cu calcule. Va rog. VREAU EXPLICAT DAU 30 PUNCTE SI COROANA.

Answer 1

Răspuns:

s da, asa este!!

Explicație pas cu pas:

dpdv la impartirii la 4 numerele pot da resturile

0; 1;2;3; deci 4 feluri de resturi

cum ni se cer resturi diferite, presupunem cel mai "defavorabil " caz, sa avem resturi  CAT MAI DIFERITE POSIBIL;  deci primele 4 numere alese din cele 5 dau aceste resturi (nu conteaza ordinea)

atunci al 5-lea va da tot unul din resturile de mai sus, deci vor fi 2 astfel de resturi

daca in primele 4 numere erau deja 2 sau 3 sau 4  resturi identice, problema era gata rezolvata din ipoteza

deci in 5 nr nat diferite, exista CEL PUTIN  2 NUMERE care, impartite la 4,  dau resturi identice

altfel

se cheama "principiul cutiei " sau " al lui Dirichlet", dupa numele celui care l-a teoretizat...principiu inseamna un adevar atat de clar incat NU TREBUIE DEMONSTRAT

faci 4 cutii imaginare in care pui toate numerele functie de restul impartirii la 4: cutia "0", cutia "1", cutia"2" si cutia "3"

...exista doar 4 cutii posibile****..daca pui 4 numere in 4 cutii diferite (daca ai pus 2 in aceeasi cutie, gen 6 si 10 care dau acelasi resdt, si anume 2, problema e gata), al 5-alea numar trebuie "bagat" in una din primele 4 cutii.Deci din cele 5 numere, cel putin 2 vor fi in aceeasi "cutie"

................................

.........................

****de exemplu in cutia "0" intra numerele 0.4;8;12;16...pt ca, impartite la 4 dau rest 0

in cutia "1" intra numerele 1,5,9.13,17....pt ca, impartite la 4 dau rest  1

in cutia "2" intra numerele 2;6;10.14.18..pt ca, impartite la 4 dau rest 2

in cutia "3" intra numerele 3;7;11;15;19...pt ca, impartite la 4 dau rest 3

orice numar natural intra obligatoriu doar in una din "cutii"

Answer 2

Aplicăm teorema împărțirii cu rest, pentru un număr natural n.

$\it n:4=c\ rest\ r\ \Rightarrow\ \begin{cases}\it n=4\cdot c+r\\ \\ \it r<4\ \Rightarrow\ r\in\{0,\ 1,\ 2,\ 3\}\end{cases}$

Trebuie să alegem 5 numere naturale diferite.

Alegem, la început, numai 4 numere și dacă prin împărțire la 4

vom obține 4 resturi diferite: 0,  1,  2 sau 3, atunci vom mai alege

un număr, al cincilea, care prin împărțire la 4 va da, evident,  

unul din resturile  din mulțimea {0,  1,  2,  3}.

Deci, vom avea 5 resturi, dintre care două resturi vor fi egale.