Question

Un copac ciudat, are trei ramuri de mărimea 1 (le notam R1),
fiecare dintre acestea are câte alte trei ramuri de mărimea 2 (le notam R2),
fiecare ramură R2 are câte
alte trei ramuri de mărimea 3 ( le  notăm R3), etc...

Nişte furnicuţe ce căutau de mâncare, au ajuns la acest copac.

Timp de o săptămână, în fiecare zi, pe fiecare ramură Rk ajungea câte
o furnică, dar nu se mai întorcea niciuna, deoarece acolo se aflau nişte păsărele
... flămânde!

In a doua săptămâna, tragedia s-a repetat în zilele lucrătoare pe ramurile Rs,
iar în week-end pe ramurile Rp.

Au pierit astfel 415206 furnicuțe!

Puteți afla locațiile tragediei, adică pe k,  s,  p ?

Answer 1

Sunt 3        ramuri re marimea R1
         3·3     ramuri de marimea R2
         3·3·3 ramuri de marimea R3
.........................................................
Sunt $3^n\ ramuri \ de \ marimea\ R_n$.

In prima saptamana au pierit zilnic furnicile de pe ramurile Rk, deci in total

$7\cdot3^k$ (era cate o furnica pe fiecare ramura)

In zilele lucratoare din a doua saptamana au pierit zilnic furnicile de pe ramurile RS, deci in total $5\cdot3^s$,  iar in zilele de sarbatoare cele de pe ramurile Rp, deci in total $2\cdot3^p$.

In cele doua saptamani, au pierit deci:
$5\cdot3^s+2\cdot3^p+7\cdot3^k=(3+2)\cdot3^s+2\cdot3^p+(2\cdot3+1)\cdot3^k=$

$=3^{s+1}+2\cdot3^s+3^p+2\cdot3^{k+1}+3^k\ furnicute$    (1)
 Pentru ca expresia seamana cu scrierea unui numar in baza trei, scriem si numarul dat in enunt, in baza trei.

$415206_{(10)}=210001120000_{(3)}=2\cdot3^4+1\cdot3^5+1\cdot3^6+1\cdot3^{10}+2\cdot3^{11}$    (2)

Comparand expresiile (1) cu (2), se obtine s=4;  p=6;  k=10

Proba: $7\cdot3^{10}+5\cdot3^4+2\cdot3^6=415206$