Un corp aluneca cu frecare pe un plan inclinat cu lungimea l=2m și înălțimea h=1m. Coeficientul de frecare la alunecarea corpului pe plan este μ=1/2√3.
a) accelerația corpului daca acesta este lăsat liber din vârful planului înclinat
b) accelerația corpului daca acesta este lansat de la baza planului spre vârful sau
c) unghiul de înclinare al planului inclinat pentru care coborârea pe plan este uniforma
Răspunsuri la întrebare
a)
Fortele care actioneaza asupra corpului, pe axa Ox sunt: forta de frecare (Ff), forta de greutate (componenta tangentiala, Gt). Miscarea este accelerata. Sub forma scalara, se aplica principiul II:
Gt - Ff = m*a
mg*sin alfa - miu*N = m*a (1)
Fortele care actioneaza asupra corpului, pe axa Oy sunt: forta de apasare normala (N), forta de greutate (componenta normala, Gn). Ele sunt egale.
N = Gn
N = mg*cos alfa (2)
Din relatia (1) si relatia (2) ---> mg*sin alfa - miu*mg*cos alfa = m*a
Se da factor comun m.
m * (g*sin alfa - miu*g*cos alfa) = m * a
g * (sin alfa - miu*cos alfa) = a (3)
sin alfa = inaltimea/lungime
sin alfa = 1/2 (deci alfa = 30 grade)
cos alfa = cos de 30 de grade = √3/2
Se inlocuiesc valorile cunoscute in relatia (3) de mai sus.
10 * (1/2 - 1/2√3 * √3/2) = a
a = 10 * (1/2 - 1/4)
a = 10/2 - 10/4
a = 5 - 2,5
a = 2,5 m/s²
b)
Se aplica teorema variatiei energiei cinetice.
ΔEc = L(total)
Ec(varf) - Ec(baza) = L(Ff) + L(Gt)
L(Ff) = -Ff * d, unde d = lungimea planului
L(Gt) = -m*g*h, deoarece corpul urca, deci lucrul mecanic al greutatii este negativ
Energia cinetica din varful planului va fi egala cu zero, deoarece corpul se opreste in acel punct, deci viteza este nula.
- Ec(baza) = - (Ff * d + m*g*h)
mv²/2 = miu*m*g*cos alfa + m*g*h
m * v² = 2 * m * (miu * g * cos alfa + g * h)
Se reduce masa.
v² = 2 * (miu * g * cos alfa + g * h)
v² = 2 * (1/2√3 * 10 * √3/2 + 10)
v² = 25 ⇒ v = √25
v = 5 m/s
Aceasta este viteza de la baza planului inclinat, adica viteza cu care este lansat corpul.
Se aplica ecuatia lui Galilei.
v(final)² = v(initial)² + 2*a*d, unde:
- v(final) = viteza finala a corpului, in cazul nostru este zero
- v(initial) = viteza initiala a corpului, aflata anterior
- a = acceleratia imprimata corpului
- d = distanta parcursa de corp
0 = 5² + 2 * a * 2
25 + 4a = 0
4a = -25
a = -25/4
a = -6,25 m/s²
(acceleratia este negativa deoarece miscarea este franata; corpul este lansat, apoi incetineste pana la oprire)
c)
daca coborarea este uniforma, inseamna ca viteza este constanta, adica acceleratia este egala cu zero.
Se scrie aceeasi ecuatie ca la punctul a).
Gt - Ff = m*a
mg*sin alfa - miu*N = m*a
Dar intrucat a = 0....
Gt = Ff
mg*sin alfa = miu*mg*cos alfa
Se reduce masa si constanta gravitationala.
sin alfa = miu * cos alfa
sin alfa = 1/2√3 * cos alfa
Se imparte prin cosinus.
sin/cos = 1/2√3
tangenta alfa = 1/2√3
alfa = arctangenta(1/2√3)
alfa = arctan (√3/6)