Question

un corp de masa m=5 kg se afla la inaltime h=100 m fata de sol. aflati: a) energia mecanica la inaltimea h
b) energia mecanica a corpului inainte de a atinge solul, precum si viteza in acest moment
c) viteza corpului la inaltimea h=30 m fata de sol
d) viteza corpului dupa ce acesta a parcurs 20 m
e) energia cinetica si potentiala ale corpului la inaltimea
$\frac{h}{2}$

Answer 1

ai desenul problemei atasat, cu toate cele 5 etape.
a) energia mecanica la inaltimea respectiva nu poate fi decat potentiala. inaltimea este mai mare decat 0 si nu se mentioneaza viteza corpului in etapa respectiva, deci si ea este considerata nula. consideram etapa in care corpul se afla la inaltimea h etapa A. energia mecanica totala in A:
EMA=EcA+EpA
energie cinetica nula in A => EMA=EpA
aplicam formula energiei potentiale gravitationale (produsul dintre masa, inaltime si acceleratie gravitationala, pe care o voi considera 10N/kg) => EMA=m*g*h=5*10*100=5000 J.
b) imediat ce corpul este lasat sa cada, acesta se indreapta spre sol. inaltimea fata de sol scade gradual, deci si energia potentiala scade, iar viteza creste, energia cinetica crescand. acest fenomen se numeste conservarea energiei mecanice. considerand un mediu fara frecari sau alti factori de pierdere energetica, energia potentiala se transforma in cinetica. exact in momentul dinaintea contactului dintre sol si corp, energia potentiala se transforma total in cea cinetica (se considera h=0). deci in acel moment, energia cinetica e egala cu cea potentiala, deci 5000J.
formula energiei cinetice este m*v²/2, unde m e masa, v e viteza in acel moment. egalam formula cu modulul energiei cinetice: m*v²/2=5000 => v=√(2*5000/5)=20√5 => viteza in acel moment este aproximativ egala cu 44,72 m/s.
urmatoarele 3 subpuncte trateaza cazuri in care corpul se afla in cursul caderii, la o anumita distanta fata de sol, strict mai mica decat cea initiala. in consecinta, corpul are si energie cinetica (ce creste proportional cu micsorarea inaltimii) si energie potentiala (ce scade proportional cu micsorarea inaltimii). fie inaltimea la care se afla corpul H, iar viteza sa in acea stare sa fie vx. inainte sa cada, corpul are doar energie potentiala - mgh. pe masura ce cade, energia potentiala scade, iar cea cinetica creste, insa energia mecanica ramane aceeasi (se conserva, in absenta pierderilor). energia mecanica este totalul energiilor in acea stare, suma energiilor. daca el se afla la o distanta H fata de sol, cu H<h, o parte din energia potentiala a devenit cinetica, conform legii conservarii energiei mecanice. avem, deci mgh=mgH+m*vx²/2. se reduce m, iar asta este formula vitezei in functie de inaltimea la care se afla: gh=gH+vx²/2 => vx=√[2*g(h-H)]. inlocuim aceasta formula peste tot in urmatoarele subpuncte.
c) la inaltimea de 30m fata de sol, H=30m. inlocuim in formula:
vx1=√[2*g(h-H)]=√[2*10(100-30)]=10√14 => viteza in acea etapa este aproximativ egala cu 37,42 m/s.
d) dupa ce a parcurs 20 m fata de etapa initiala, acesta se afla la o inaltime egala cu h-20 fata de sol, deci la 80m fata de sol.H=80m. inlocuim in formula: 
vx2=√[2*g(h-H)]=√[2*10(100-80)]=√400. corpul are in acea etapa exact 20 m/s.
e) inaltimea h/2 inseamna 100/2 adica 50 m. la acea inaltime, energia potentiala a corpului este m*g*h, adica 5*10*50, deci Epf=2500 J (s-a injumatatit distanta, se injumatateste si energia). energia mecanica este conservata, in consecinta corpul are o energie mecanica egala cu cea initiala. Epf+Ecf=EMA => Ecf=EMA-Epf => Ecf=5000-2500 => Ecf=2500J (energiile potentiala si cinetica sunt egale)

putem verifica daca formula scoasa anterior este corecta, determinand viteza corpului la inaltimea h/2: vx3=√[2*g(h-H)]=√[2*10*(100-50)=√1000 deci la 50 m fata de sol, corpul are o viteza de aproximativ 31,62 m/s. energia sa cinetica este m*vx3²/2, adica 5*(√1000)²/2, adica exact 2500, cum ne-a dat la exercitiul anterior. asta a fost o verificare pentru formula si numerele calculate.

Answer 2

a) La inaltimea h, inainte de inceperea caderii, intreaga energie mecanica este cea potentiala gravitationala, deoarece corpul este (initial) in repaus.

 $E_{initial}=E_{p\:initial}=mgh$
Numeric, $E=5\:kg\cdot 100\:m\cdot 10\:\frac{N}{kg}=5000J$

b) Din legea conservarii energiei mecanice, considrand ca nu exista forte disipative, energia mecanica ramane neschimbata:

$E_{final}=E_{initial}$

Cum corpul este la limita de impact cu solul, energia sa potentiala este $0$ (considerand ca acest corp are dimensiuni reduse, astfel inaltimea centrului sau de greutate fiind neglijabila). Toata energia mecanica in acest punct este cinetica, deci:

$E_{final}=E_{c\:final}\\ E_{final}=E_{initial}\\\implies \frac{mv^2}{2}=mgh\implies v=\sqrt{2gh}$
Numeric, $\boxed{v=\sqrt{2\cdot 10\frac{m}{s^2}\cdot 100m}\approx 44,721\:\frac{m}{s}}$

c) Din nou aplicam legea conservarii energiei mecanice. Notam cu $E'$ energia pe  care corpul o are la inaltimea $h'=30m$.

$E_{initial}=E' \\ E' =E_p' +E_c'\\ E_p'=mgh'\\E_c'=\frac{mv'^2}{2}\\\implies mgh'+\frac{mv'^2}{2}=mgh\implies v=\sqrt{2g(h-h')}$
Numeric, $v=\sqrt{2\cdot 10\frac{m}{s^2}\cdot (100-30)m}=\sqrt{1400}\frac{m}{s}\approx \boxed{37,416 \frac{m}{s}}$

d) Prin exact aceeasi metoda, fie $d=20m$ distanta parcursa de corp. Atunci $h''=h-d$, asadar:

$E''=E_{initial}=mgh\\ E''=mgh''+\frac{mv''\:^2}{2}\\\implies v''=\sqrt{2g(h-h'')}\\ \text{Dar } h''=h-d\implies v''=\sqrt{2g(h-h+d)}=\sqrt{2gd}$
Numeric, $v=\sqrt{2\cdot 10\frac{m}{s^2}\cdot 20m}=\boxed{20\frac{m}{s}}$

e) $E_{p2}=mg\frac{h}{2}$
Numeric, $E_{p2}=5kg\cdot 10\frac{N}{kg}\cdot 50m=\boxed{2500J}$

Tot din legea de conservare a energiei mecanice:

$E_{p2}+E_{c2}=E_{initial}\\ \implies E_{c2}=mgh-mg\frac{h}{2}=mg\frac{h}{2}$
$\boxed{E_c=2500J}$