Question

Un elev a primit spre rezolvare următoarea problema :"Intr-un pătrat cu latura de lungime 1 se unește mijlocul fiecărei laturi cu extremitățile laturii opuse , obtinandu-se astfel un octogon convex . Aflați aria S a acestui ostogon"

Answer 1

Greseala provine din faptul ca s-a afirmat in mod eronat ca octogonul este regulat.
Octogonul nu este regulat.
OP=1/4 este o afirmatie corecta, in baza faptului ca [OP] este linie mijlocie in  ΔEGC.
m(PON)=45 de grade este de asemenea corect, deoarece [ON este bisectoarea unghiului POM
Mai dificil de calculat este ON:
In ΔOHG, HM si GP sunt mediane, iar N este centru de greutate, Asadar [ON] este inclusin cea de-a treia mediana , mai exact, din proprietatea centrului de greutate este 2/3 din aceasta a treia mediana a triunghiului OHG. Dar aceasta a treia mediana este jumatate din lungimea diagonalei OC a patratului OHCG, de latura 1/2
Diagonala pataratului este √2/2
ON=2/3*1/2*OC=1/3*√2/2=√2/6
[tex]A_{[PON]}=\frac{ON\cdot OP\sin 45\textdegree}{2}=\frac{1}{48}\\ A_{actogon}=8\cdot A_{[PON]}=\frac{1}{6}[/tex]