Question

Un elev citeste in prima zi a vacantei o pagina de carte, apoi in fiecare zi un numar dublu de pagini fata de ziua precedenta. Dupa cate zile acitit1023 de pagini?
1+2+4+8+16+32+...+x=1023

Answer 1

In prima zi copilul citeste 1 pagina (se poate scrie ca 2⁰)
A doua zi numarul se dubleaza adica 2¹
A treia zi se dubleaza din nou adica 2²
Si asa mai departe.
In ziua n copilul citeste 2 la puterea n-1

Atentie aici este cheia problemei exponentul este cu 1 mai mic decat numarul zilei.
Numarul de pagini citite la sfarsitul zilei n este
S=2⁰+2¹+...+2(la puterea n-1)
Pentru a calcula suma se aduna 2⁰=1 in ambii termeni ai egalitatii
S+1=2⁰+2⁰+2¹+...+2(la puterea n-1)
Se grupeaza de fiecare data primii 2 termeni si se tine seama de faptul ca 2(la puterea k) +2(la puterea k)=2(la puterea k+1)
Adica 2⁰+2⁰=2¹
2¹+2¹=2²
si asa mai departe
Atunci numarul de pagini citite la sfarsitul zilei n este S=2(la puterea n)-1
si acesta trebuie sa fie mai mic sau egal cu 1023
2(la puterea n)-1≤1023
2(la puterea n)≤1024 (1024 este 2¹⁰)
2(la puterea n)≤2¹⁰
n≤10
Deci la sfarsitul zilei a zecea copilul a citit 1023 de pagini.

Answer 2

1+2+4+8+16+32+64+128+256+512=1023
a citit in10 zile