Question

Un elev se afla langa o scara cu mai multe trepte. El incepe sa urce scara dupa urmatoarea regula: urca 5 trepte, apoi coboara 2 trepte, urca 5 trepte, apoi coboara 2 trepte si tot asa. Un pas inseamna ca elevul urca o treapta sau coboara o trepta. Se cere: a) Pe ce treapta se afla elevul dupa 215 pasi? b) Dupa cati pasi elevul calca pentru prima oara pe treapta 215?

Answer 1

Presupunem ca toate teptele au fost numerotate la rand cu 1,2,3.....

iar pasii elevului ii "noteaza" el pe un caiet cu 1,2,3..

practic avem o relatie functionala= functie (notiune studiata in clasa a 8-a)  numita sir (studiat in clas a 11-a) , definita pe N (pasii elevului) cu valori in N (numarul treptei pe care se afla)

treptele pecare se afla elevul sunt in succesiunea

5

  3

8

 6

11

  9

14

  12

17

  15

........

"se observa " ca...si in clasa a 9-a se si demonstreaza.... ca avem relatiile

3(n+1)/2+2 pt n impar

 3(n-1) pt n par

.............

 ...........

a) 215 este numar impar deci 3(215+1)/2+2=3*108+2=324+2=326 ..treapta 326

b) asadar verificam cu ambele formule pt ca la ambele subsiruri apar si numere pare si impare

3(n+1)/2+2 =215

3(n+1)/2=213...3(n+1)=426 ...n+1=142...n=141

deci el e se afal pe treapta 215 dupa 141 pasi

ar trebui ca la cealalta varianta sa nu obtinem un nr natural de pasi

intr-adevar 3n=215... 3 nu divide pe 215, pt ca 2+1+5=8 si 3 nu divide pe 8

Answer 2

(5-2)*x+(2+2)*x-2=215+(2+2)*x-(2+2)

3x+4x-2=215+4x-4

7x-2=215+4x-4

7x-4x=215-4+2

3x=215-2

3x=213

x=213:3

x=71     => de 71 de ori se repeta acest proces ( urcat 5;coborat 2)

Aflam dupa cati pasi ,elevul calca pentru prima oara pe treapta 215

215+4*71-4=

=215+284-4=

=499-4=

=495 de pasi pana pe treapta 215

215=> treptele pe care le-ar fi urcat daca nu ar fi coborat deloc

284=> numarul de pasi facuti in timpul cobotarii ( 142*2   coborare si urcare)

-4 =>ultimii patru pasi pe care nu-i mai face la final ( 2+2  coborare si urcare)

Aflam pe ce treapta se afla elevul dupa 215 pasi

(215-5(:7=30   => de 30 de ori ,urca si coboara cate (5-2)

30*(5-2)+5=

=30*3+5=

=90+5=

=95 este numarul treptei dupa 215 pasi (+5 pentru ca nu mai coboara 2)