Question

Un mic ajutor la problemele date
 Pe tangenta dusa la un cerc de centru O sunt luate punctele A si B astfel incit AO= 41 cm ,, BO= 15 cm ,  AB=52 cm.Sa se determine lungimea cercului

Answer 1

1) Perpendiculara din O pe AB este raza cercului și înălțime în triunghiul AOB.
Calculăm aria triunghiului AOB în două moduri.
Mai întâi cu formula lui Heron $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, unde p este semiperimetrul triunghiului, iar a, b, c sunt laturile. Avem $p=54$, deci $S=\sqrt{54\cdot 2\cdot 13\cdot 39}=234$.
Apoi folosim formula $S=\frac{AB\cdot h}{2}=\frac{52\cdot R}{2}$.
Egalând rezultatele se obține ecuația $26R=234\Rightarrow R=9$.
Atunci lungimea cercului este $L=2\pi R=18\pi$

2. Avem $2R_2=4R_3\Rightarrow R_2=2R_3$.
În plus, diametrul cercului mare este egal cu suma diametrelor cercurilor mai mici, adică $2R_2+2R_3=12\Rightarrow R_2+R_3=6$.
Din cele două relații se obține $R_2=2, \ R_3=4$.
Aria cerută se obține scăzând din aria cercului mare ariile celor două cercuri mai mici, adică $A=\pi R_1^2-\pi R_2^2-\pi R_3^2=16\pi$