Question

Un mol de gaz efectueaza ciclul din figura de mai jos. Temperaturile in punctele 1 si 3 sunt $T_{1}$ si respectiv $T_{3}$. Stiind ca punctele 2 si 4 se afla pe aceeasi izorerma, sa se precizeze daca lucrul efectuat pe cilclu este:
a. $R T_{1} ( \sqrt{ \frac{ T_{3} }{ T_{1 } }} -1)$           
b.$R T_{1} \sqrt{ \frac{ T_{3} }{ T_{1 } }$               
c.$R ( { \frac{ T_{3} }{ T_{1 } } -1)$
d.$R T_{1} \sqrt{ \frac{ T_{1} }{ T_{3 } }$
e.$R T_{1} ( \sqrt{ \frac{ T_{1} }{ T_{3 } }} -1) ^{2}$
f.$R T_{1} ( \sqrt{ \frac{ T_{3} }{ T_{1 } }} -1)^{2}$

Ma intereseaza in special modul de rezolvare :)

Answer 1

Sa incerc eu sa te ajut, desi nu sunt sigur ca e corect.
niu = 1 mol = 0,001 kmoli.

Expresia lucrului mecanic efectuat in ciclul dat este:
L = L12 + L23 + L34 + L41                                                      91)

Ai un ciclu format din doua procese izocore(12 si 34) si doua procese izobare(23 si 41). Se stie ca intr-un proces izocor(deci volumul nu variaza, asta insemnand DeltaV = 0)) lucrul mecanic este:
L = p*DeltaV = p*0 = 0
In cazul nostru avem L12 + L34 = 0.

Deci expresia lucrului mecanic in relatia (1) devine: L = L23 + L41                   (2)    

 Intr-un proces izobar expresia lucrului mecanic este
L = p*DeltaV = niu*R*DeltaT, relatia ultima rezultand din ecuatia Clapeyron - Mendeleev, adica p*V = niu*R*T

Sa scriem acum parametrii de stare ai gazului in cele patru stari .
Starea 1: p1, V1, T1.

Procesul 1-->2 este izocor, deci V2 = V1.

Starea 2: p2, V1, T2.

Procesul 2-->3 este izobar, deci p3 = p2

Starea 3: p2, V2, T3.

Procesul 3-->4 este izocor, deci V4 = V2.

Starea 4: p1, V2, T4 = T2(asta deoarece punctele 2 si 4 se gasesc pe aceeasi izoterma).

Procesul 4-->1 este izobar.

Asadar T4 = T2.

Deci pentru procesul 2-->3 vom avea: L23 = niu*R*(T3 - T2), iar pentru procesul 4-->1 vom avea L41 = niu*R*(T1 - T4) = niu*R*(T1 - T2).

Deci relatia (2) devine: L = niu*R*(T3 - T2) + niu*R*(T1 - T2)                  (3)

In relatia (3) nu cunoastem temperatura T2, pe cate trebuie s-o aflam.

Sa aplicam legea lui Charles pentru procesul izocor 1-->2.
p2/p1 = T2/T1                                                              (4)

Acum sa aplicam legea lui Charles pentru procesul izocor 3-->4.
p1/p2 = T2/T3                       (5)
                                      
Relatia (5) se mai scrie:  p2/p1 = T3/T2                   (6)

Acum se observa ca putem scrie, din relatiile (4) si (6):

p2/p1 = T2/T1 = T3/T2, adica:
T2/T1 = T3/T2, de unde rezulta imediat: T2*T2 = T1*T3, adica T2 = radical din (T1*T3).

Deci T2 = radical din (T1*T3)                    (7)
Inlocuim acum expresia lui T2 din relatia (7) in expresia lucrului mecanic din relatia (3).

L = niu*R*(T3 - radical din (T1*T3)) + niu*R*(T1 - radical din (T1*T3)) = niu*R(T3 - radical din (T1*T3) + T1 - radical din (T1*T3)) = niu*R*(T3 - 2*radical din (T1*T3) + T1) = niu*R*T1(T3/T1 - 2*radical din (T3/T1) + 1) = niu*R*T1(radical din (T3/T1) - 1) la patrat. = (altfel scris) niu*R*T1(radical din ((T3/T1) - 1)*(radical din (T3/T1) - 1).

Deci am dat mai intai in factor comun produsul niu*R, am facut inmultirile si apoi am dat in factor comun si pe T1.

Acum insa o observatie care mi se pare foarte importanta.

Daca consideram niu = 1 mol si(atentie !) exprimam pe R in functie de moli, si nu de kilomoli(cum este in sistemul international !),deci asta inseamna ca ar trebui sa luam R = 8,3143J/(mol*K), caz in care molii se simplifica la calcule, atunci obtinem valoarea variantei f, adica:
L = RT1(radical din (T3/T1) - 1) la patrat.

Deci in acest caz(adica R se exprima in asa fel incat molii sa se poata simplifica) oobtinem varianta corecta de raspuns f.

Daca insa se lucreaza in kmoli(cum este in sistemul international), deci R s-ar exprima cu valoarea R = 8314,3 J/(kmoli*K), atunci trebuie tinut cont ca niu = 0,001 kmoli, si expresia lucrului mecanic ar fi:
L = 0,001*R*T1(radical din (T3/T1) - 1) la patrat, sau altfel spus

L= 0,001*R*T1(radical din (T3/T1) - 1)*(radical din (T3/T1) - 1).

Or aceasta expresie nu apare printre variantele de raspuns.

Deci concluzia mea este, avand in vedere ca participa 1 mol de gaz: daca se exprima R in functie de moli, atunci varianta corecta de raspuns este f. Daca se exprima R in functie de kilomoli, deci in unitati din sistemul international, atunci nu avem o varianta corecta de raspuns. Cred ca ai inteles ce am vrut sa - ti explic.

De asta am si trecut la inceput valoarea niu = 1 mol = 0,001 kmoli.

Evident ca daca ti se dadea in enunt ca participa 1 KILOMOL(si nu 1 mol) de gaz, atunci obtineam varianta corecta de raspuns f in conditiile cand R era exprimata in functie de kilomoli, adica avea valoarea R = 8314,3 J/(kmol*K).

Eu asa am gandit problema. Daca vrei sa fii sigur, atunci discuta modalitatea mea de rezolvare(si mai ales abordarea asta de la sfarsit, cu diferitele unitati de masura pentru constanta universala a gazelor R) cu profesorul de fizica.  Dupa parerea mea, este o chestiune subtila, care trebuie discutata clar.

Sper ca nu te-am zapacit cu discutia asta. Repet, nu sunt sigur daca e corect, dar eu asa m-am gandit. Mai vezi si alte pareri. Succes !