Question

Un număr de forma abcd este "faimos", știind ca 5*ab=3*cd.
A. Știm că numerele faimoase se divid la 61
B. Care este suma numerelor faimoase? ​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

A. abcd=100·ab+cd, dar 5·ab=3·cd, deci 100·ab+cd=20·(5·ab)+cd=20·3·cd+cd=60·cd, deci abcd se divide cu 61.

B. numere "faimoase" sunt niste multipli de 4 cifre a lui 61.

Din relatia  5·ab=3·cd, rezulta ca ultima cifra, U(5·ab) ∈{0, 5}

Pentru ca U(3·cd) ∈{0, 5}, ⇒d∈{0,5}.

Deci numerele faimoase sunt de forma abc0 sau abc5 si multiple lui 61.

Primul numar "faimos" este 61·20=1020. Ultimul "faimos" este 61·160=9760.. Aflam numarul lor din sirul 20, 25, 30, ..., 160.

160=20+(n-1)·5, ⇒(n-1)·5=160-20, ⇒(n-1)·5=140, ⇒n-1=140:5, n-1=28, ⇒n=29.

Atunci suma "faimoaselor" ca suma de termeni ai unei progresii aritmetice

S=(1220+9760)·29/2=159210