Question

UN numar natural n da restul 3 la impartirea cu 4 . sa se arate ca nr nu este patret perfect.

Answer 1

Salut,

Analizăm 4 cazuri posibile, pentru n:

1). Cazul 1:

n = 4k, unde k este număr natural nenul, adică n ia valorile 4, 8, 12, 16, etc.

n² = (4k)² = 16k² = 4·4k² = M₄ (multiplu de 4), deci în acest caz pătratul lui n este de forma M₄;

2). Cazul 2:

n = 4m + 1, unde m este număr natural nenul, adică n ia valorile 5, 9, 13, 17, etc.

n² = (4m + 1)² = 16m² + 8m + 1 = 4·(4m² + 2m) + 1 = M₄ + 1 (multiplu de 4, plus 1), deci în acest caz pătratul lui n este de forma M₄ + 1;

3). Cazul 3:

n = 4p + 2, unde p este număr natural nenul, adică n ia valorile 6, 10, 14, 18, etc.

n² = (4p + 2)² = 16p² + 16p + 4 = 4·(4p² + 4p + 1) = M₄ (multiplu de 4), deci în acest caz pătratul lui n este de forma M₄;

4). Cazul 4:

n = 4s + 3, unde s este număr natural nenul, adică n ia valorile 7, 11, 15, 19, etc.

n² = (4s + 3)² = 16s² + 24s + 9 = 4·(4s² + 6s + 2) + 1 = M₄ + 1 (multiplu de 4, plus 1), deci în acest caz pătratul lui n este de forma M₄ + 1.

Din cele de mai sus, pentru numerele n, pătratul perfect poate lua forma M₄, sau M₄ + 1, adică pătratul nu poate lua celelalte forme posibile adică M₄ + 2, sau M₄ + 3, ceea ce trebuia demonstrat.

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.