Question

Un numar se numeste 5-puternic daca se scrie ca suma de trei puteri consecutiveale lui 5, exponentii puterilor lui 5 fiind numere naturale nenule :
a) sa se determine numerele de 3 cifre care sunt 5-puternice.
b) sa se ararte ca suma primelor 2017 nr 5-puternice este divizibila cu 31.
c) sa se demonstreze că,fiind date trei Nr 5-puternice exista doua numere dintre acestea al căror produs este un pătrat perfect.
Va rog frumos!
Acord 29 de puncte + Coroana

Answer 1

b) Un număr 5-puternic are forma :

[tex]\it A = 5^n+5^{n+1} +5^{n+2} =5^n(1+5+5^2) =5^n\cdot31, \ \ n\in \mathbb{N}^* \\ \\ Deci,\ A = 5^n\cdot31 \Rightarrow A\vdots31 [/tex]

Așadar, orice număr 5-puternic se divide cu 31, iar de aici rezultă că suma

primelor 2017 numere 5-puternice se divide cu 31.

a)

[tex]\it A = 5^n+5^{n+1} +5^{n+2} =5^n\cdot31 \\ \\ n=1 \Rightarrow a = 5\cdot 31 = 155 (are\ 3\ cifre) \\ \\ n=2 \Rightarrow b = 25\cdot 31 = 775 (are\ 3\ cifre) \\ \\ n=3 \Rightarrow a = 125\cdot 31 = 3875 ( Nu \ are\ 3\ cifre) [/tex]

Numerele cerute la subpunctul a) sunt: 155 și 775.

c) lipsește ceva din enunț (verifică !)