Question

Un semicerc are diametrul AB=10dm Punctele C, D, E, F si G impart semicercul in sase arce egale. Demonstrati ca ADFB este trapez isoscel si aratati ca lungimea segm AC este mai mica decat 3,6 dm

Answer 1

m(AC) = m(CD) = m(DE) = m(EF) = m(FG) = m(GB) = 180°/6 = 30°

m(AD) = m(AC) + m(CD) = 60°
m(DF) = m(DE) + m(EF) = 60°
m(FB) = m(FG) + m(GB) = 60°

m(AD) = m(DF) = m(FB)  ⇒  AD = DF = FB

Fie M mijlocul lui AB

AM = DM = FM = MB (pentru ca sunt raze)
AD = DF = FB

⇒ΔAMD ≡ ΔDMF ≡ ΔFMB  (triunghiuri isoscele)
m(∡AMD) = m(∡DMF) = m(∡FMB)

⇒ ΔAMD, ΔDMF, ΔFMB echilaterale 

m(∡DFB) = m(∡DFM) + m(∡MFB) = 120°
m(∡MBF) = 60° 
(unghiuri interne de aceeasi parte a secantei)

FB secanta


⇒ DF ║ AB 
AD = DF = FB

⇒ADFB trapez isoscel

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ΔAMC

m(∡AMC) = m(∡AMD)/2 = 30°

AM = CM = 5dm (raze)

AM² + MC² - 2AM×MC×cos(∡AMC) = AC²

AM = CM = 5dm (raze)

5² + 5² - 2×5×5×cos(30°) = AC²

50 - 50×(√3/2) = AC²

(100-50√3)/2 = AC²

80,60 < 50√3 < 80,603

AC² < (100-80,6)/2

AC² < 19,4/2

AC² < 9,7

AC < √9,7

AC < 3,115 dm ⇒ AC < 3,6 dm

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