Question

Un triunghi dreptunghic cu un unghi de 30˚ are perimetrul 15($\sqrt{3}+1$) dm.Aflați aria.

Answer 1

P=15(√3+1)
∡ACB=30°
Notam cu ABC- triunghiul dreptunghic
Stim ca unghiul BAC=90 
De asemenea, stim ca unghiul ACB =30 
Atunci,unghiulABC=60
Folosim notatia b pentru cateta AB
Aplicam sinus de 30.
sin30=AB/BC--->sin 30=b/BC---->de aici observam ca BC=2b; 
Pentru ca ,stim ca sin de 30 =$\frac{1}{2}$;
Formandu-se o proportie, observam ca BC=2b
Deci, pe BC il notam cu 2b
De asemenea, aplicam iar o functie trigronometrica, aceea fiind cosinus de 30
cos 30= AC/BC--->cos 30=AC/2b
Stim ca: cos 30=$\frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{AC}{2b}=\ \textgreater \ 2*AC=2b* \sqrt{3}|:2 \ \textless \ +\ \textgreater \ AC=b \sqrt{3}$
Stim ca perimetrul este 15(√3+1)
Stiind ca AB=b;  BC=2b, AC=b√3-----inlocuim:
P= b+2b+b√3=15(√3+1)
3b+b√3=15(√3+1)
 Observam ca putem da factor comun in ambii membrii:
b(3+√3)=15(√3+1)
il aflam pe b astfel: $b= \frac{15( \sqrt{3}+1) }{3+ \sqrt{3} } =\ \textgreater \ b= \frac{15( \sqrt{3}+1)(3- \sqrt{3}) }{9-3} \ \textless \ =\ \textgreater \ b= \frac{15*2 \sqrt{3} }{6} =\ \textgreater \ b=5 \sqrt{3}$
L-am aflat pe AB ,rationalizand la numitor cu conjugata sa.
Deci, AB=5√3
Stim ca BC=2b
BC= 10√3
P=AB+BC+AC
15√3+15= 5√3+10√3+AC
=>AC=15 ;deci, am observat ca AC=15dm
Deci, AB=5√3; AC=15 ;BC=10√5
Aflam aria triunghiului dreptunghic prin aplicare formulei:
$A= \frac{C1*C2}{2} \ \textless \ =\ \textgreater \ A= \frac{5 \sqrt{3}* 15 }{2}$=>$=>\frac{75 \sqrt{3} }{2}$dm²