Question

Un triunghi dreptunghic isoscel ABC cu unghiul A de 90* și triunghiulara BCE este echilateral.Calculati lungimea lui AE.

Answer 1

Notam intersectia dintre BC si AE cu litera D.
ABC triunghi dreptunghic isoscel inseamna ca AB=AC(1) si unghiurile sunt egale
$\angle{ABC}=\angle{ACB}$=45(2)
Daca BCE este echilateral atunci toate laturile sunt egale
BC=CE=BE(3) si toate unghiurle sunt egale
$\angle{ECB}=\angle{CBE}=\angle{BEC}=60$(4)
luam in considerare triunghiurile ACE si ABE. Observam din (1) si (3) ca laturile sunt egale doua cate doua iar unghiurile dintre ele
$\angle{ACE}=\angle{ACB}+\angle{ECB}=45+60=105$
$\angle{ABE}=\angle{ABC}+\angle{CBE}=45+60=105$
deci si unghiurile dintre laturi sunt egale intre alte
$</span>\angle{ACE}=\angle{ABE}$  atunci avem un caz de congruenta ABE,ACE si inseamna ca si unghiurile ramase sunt egale
$\angle{CAE}=\angle{BAE}$ de unde rezulta ca AE este bisectoare pentru unghiul A, si AD este bisectoare in triunghiul dreptunghic isoscel ABC. Bisectoarea intr-un triunghi isoscel este in acelasi timp si inaltime, deci AD este inaltime
Folosind teorema lui Pitagora aflam lungimea ipotenuzei
$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=2AB^{2}=2*36=72\Rightarrow BC=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ 
Stim ca inaltimea dintr-un triunghi dreptunghic isoscel este egala cu jumatate din ipotenuza(e simplu sa verifici: AD este perpendiculara pe BC inseamna ca ADB este triunghi dreptunghic cu catetele AD si CD si unghiuri de 45grade, ceea ce inseamna ca este si isoscel AD=CD=BC/2 pentru ca AD este si inaltime dar si mediana, D este la mijlocul lui BC)
$AD=\frac{BC}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$

Cum am spus, AD este si mediana, D este mijlocul lui BC, atunci ED este si ea mediana in triunghi echilateral. Daca este mediana, inseamna ca este si inaltime in triunghiul echilateral, care are formula
$ED=\frac{l\sqrt{3}}{2}$  unde l este latura triunghiului echilateral
dar vedem ca BC este latura a triunghiului atunci l=BC
$ED=\frac{BC\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{2}*\sqrt{2}}{2}=6$
Atunci lungimea AE este
$AE=AD+ED=3\sqrt{2}+6$