Question

Un trunchi de con circular drept are raza bazei mici egala cu 1 cm si raza bazei mari egala cu 4 cm. Are sectiunea axiala un trapez isoscel ce poate fi circumscris unui cerc. Calculati aria si volumul sferei cu raza egala cu raza cercului inscris in sectiunea axiala a trunchiului.

Answer 1

Linia mijlocie=(a+b)/2=(2+8)/2=5
raza cercului inscris este jumate ipotenoza
5/2=2,5 cm
Aria sf=4piR^2=4×2,5^2pi=4×6,25pi=
=25pi cm^2

Vol sf=4piR^3/3=4×2,5^3pi/3=4×15,625pi=
=62,5pi cm^3

Answer 2

Fie ABCD -secțiunea axială, AB =diametrul mare, CD = diametrul mic.

Fie O', E, O, F punctele de contact (tangență) ale cercului înscris cu laturile

trapezului ABCD, O' = centrul bazei mici a trunchiului de con, E∈AD,

O = centrul bazei mari a trunchiului de con, F ∈ BC.

OA = OB = 4 cm (raza mare),  O'C = O'D =  (raza mică)

Deoarece  tangentele dintr-un punct exterior sunt egale, vom avea:

BF = BO = 4 cm,  CF = CO' = 1cm, deci BC = 4+1 = 5 cm.

Acum, izolăm (detaliem) trapezul dreptunghic O'OBC, unde OB = 4cm,

 BC = 5cm. Ducem CH⊥OB, cu H pe OB și rezultă :

OH = CO' = 1⇒HB = 4 - 1 = 3 cm

Cu teorema lui Pitagora în ΔHBC ⇒ CH = 4cm.

Dar O'O = CH = 4cm

 O'O reprezintă centrul cercului înscris, care este un cerc mare

 al sferei înscrise în trunchiul de con. Deci, raza sferei este R = 4:2 = 2 cm

Volumul sferei = 4πR³/3 = 4π2³/3 = (32/3)π cm³

Aria sferei = 4πR² = 4π2² =  16π cm²