Question

Un tub cilindric de sticla de lungim 100cm deschis la ambele capete este introdus vertical pe jumatate de lungime intr un vas cu apa. Se astupa tubul la capatul superior apoi se ridica tubul din vas pe verticala in intregime . densitatea apei = 1000 kg/m^3 , presiune atmosferica p0= 10^5 N/m^2 , T= 290K si g=10 m/s^2 si se neglijeaza fenomenele superficiale de dilatare sau schimbare de faza . Lungimea x1 a coloanei de apa ramase in tub , respectiv temperatura T1 la care lungimea devine x2=30cm sunt:

Answer 1

În momentul în care se astupa tubul (starea A), presiunea aerului care va fi izolat în tub este egală cu presiunea atmosferică $p_0$, iar volumul este $V/2$, unde $V$ este volumul total al cilindrului. În starea finală (B), presiunea aerului din tub este $p_0-\rho g x_2$ (din echilibrul coloanei de lichid), iar volumul este $V-x_1S$. Pe de alta parte, transformarea aerului din tub poate fi considerată izotermă, așadar procesul poate fi parametrizat prin:

$A(p_0, V/2, T) \longrightarrow B(p_0-\rho gx_1, V-x_1S, T)$

Legea Boyle-Mariotte petru aerul din tub:

$p_0V/2=(p_0-\rho gx_1)(V-x_1S)$

$p_0V/2=p_0V-p_0x_1S-\rho gx_1V+\rho gx_1^2S$

$\rho gx_1^2S-x_1(p_0S+\rho gV)+p_0V/2=0$

$x_1^2-x_1(p_0/\rho g+V/S)+p_0V/2\rho gS=0$

$x_1^2-x_1(p_0/\rho g+\ell)+p_0\ell/2\rho g=0$

Aceasta este o ecuație de gradul II cu soluțiile matematice $x_I=10,52m$ și $x_{II}=0,475m$. Evident, soluția fizică este $x_{II}$, fiind singura inferioară lungimii tubului. Așadar $x_1=47,5cm$.

Temperatura se calculează din legea transformării generale suferite de gaz. Procesul este caracterizat de:

$(p_0-\rho gx_1, V-x_1S, T) \longrightarrow (p_0-\rho gx_2, V-x_2S, T_1)$

Așadar:

$pV/T=ct. \implies (p_0-\rho gx_1)(V-x_1S)/T=(p_0-\rho gx_2)(V-x_2S)/T_1$$T_1=\dfrac{(p_0-\rho gx_2)(V-x_2S)}{(p_0-\rho gx_1)(V-x_1S)}T$

$T_1=\dfrac{(p_0-\rho gx_2)(\ell-x_2)}{(p_0-\rho gx_1)(\ell-x_1)}T$

$T_1=393,8K$

Deja la aceasta temperatură, apa este în stare gazoază, dar enunțul ne spune să ignorăm fenomele de schimbare de fază!