Question

Unghiurile AOB și BOC sunt adiacente complementare, semidreapta OD este opusă semidreptei OB, semidreapta OE opusă semidreptei OC (figura 4).
a) Demonstrați că unghiul AOB și unghiul DOE sunt unghiuri complementare, b) știind că unghiul DOC = 4 • unghiul AOB, Aflați măsurile unghiurilor AOB, DOE și AOD

Answer 1

Răspuns:

a) ∡AOB si ∡DOE sunt complementare.

b)  m(∡AOB) =  30°

    m(∡DOE) = 60°

    m(∡AOD) = 150°

Explicație pas cu pas:

a)

m(∡AOC) = 90° = m(∡AOB)  + m(∡BOC)         (1)

Pentru ca OD e opusa lui OB, inseamna ca O∈BD.

Pentru ca OE e opusa lui OC, inseamna ca O∈EC.

⇒

∡DOE si ∡ BOC sunt opuse la varf

⇔

m(∡DOE) = m(∡BOC)     (2)

Din (1) si (2) ⇒

m(∡AOB)  + m(∡DOE) = 90°    (3)

⇔

∡AOB si ∡DOE sunt complementare.

b)

m(∡DOC) = 4·m(∡AOB)   (4)

Stiind ca m(∡AOC) = 90° si ca O∈EC ⇒

∡AOE e suplementul lui AOC

⇔

m(∡AOE) = m(∡AOC) = 90°   (5)

Din (1) ⇒

m(∡BOC) = 90° - m(∡AOB)   (6)

Dar noi stim ca suma unghiurilor din jurul unui punct este 360°.

⇒

m(∡AOB) + m(∡BOC) + m(∡DOC) + m(∡DOE) + m(∡AOE) = 360°

Inlocuind (6)  si (4)  si (2)  si (5)

⇒

m(∡AOB) + 90°- m(∡AOB) + 4·m(∡AOB) + 90°- m(∡AOB) + 90° = 360°

3· m(∡AOB) = 360° - 270°

3· m(∡AOB) = 90°

m(∡AOB) = 90° /3

m(∡AOB) =  30°  (7)

Din (6) si   (7) ⇒

m(∡BOC) = 90° - 30° = 60°

Din (2) ⇒

m(∡DOE) = m(∡BOC)

m(∡DOE) = 60°

m(∡AOD) =  m(∡AOE) + m(∡DOE)

Folosind (5) ⇒

m(∡AOD) = 90° + 60°

m(∡AOD) = 150°