Question

Urgeeent! Fie f:D-R, o functie periodica neconstanta, astfel incat +∞ este un punct de acumulare pentru D. Sa se arate ca functia f nu are limita la +∞.

Answer 1

Fie T≠0, perioada functiei

fie a≠b asa fel incat f(a)≠f(b)
exista astfelde puncte pt ca functioa nu este constanta

fie f(a)=L1≠L2=f(b)
atunci f (a+nT)=L1, ∀n∈N,pt ca functia este periodica
si f(b+nT)=L2,∀n∈N,  pt ca functia este periodica


fie x=a+nT un sir care tinde la ∞
(∞estedat definitia cu punctde acumulare, adica un punct a  in a carui vacinatate se gasesc toate numerele exceptand numerel mai mici decat un numar finit dat,oricat de mare ar fi acesta)
atunci lim  (a+nT) , cand n->∞= lim(L1) sir constant=L1
 si lim (b+nT) cand n->∞=lim (L2) sir constant=L2

cum L1≠L2, inseamna ca functia f nu are limiita la ∞
C.C.T.D.