Question

URGENT!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1).a.aratati ca nr. a=2003+2.(1+2+...............+2002) este patrat perfect.
b.--"--b=1+3+5+........+2011 este p.p.
c.--"-- c=81+2.81+3.81+.....+49.81 este p.p.
2)aratati ca nr. nat.,de forma 5.(n+1)+6 la puterea n+2 +1001laputer.n+3 +5,nu pot fi p.p.,pt orice valoare a nr. nat. n
3)Un nr.nat. este de 7 ori mai mare decat un alt nr nat.care sunt cele 2 nr,stiind ca cel mare este mai mare decat 86 si mai mic decat 94?
4)un nr nat este de 9 ori mai mare decat alt nr nat.care sunt nr.,stiind ca cel mare este mai mare decay 140 si mai mic decat 149?
5)Un nr nat este de 13 ori mai mare decat alt nr nat.care sunt cele 2 ne.,stiind ca cel mare este mai mare decat 140 si mai mic decat 155?
6)suma a trei nr nat este 121.inpartind primul nr la al treilea obtinem catu 10 si restul 5,iar impartind al doilea nr. la al treilea obtinem catul 5 si restul 4.determinati cele 3 nr.
7)suma a trei nr. este 135,impartind primele 2 nr. la al treilea obtinem caturile 12 si 31,iar resturile 1 si respectiv 2.determinati nr.
8)un nr. este cu 72 mai mare decat alt numar.impartind suma lor la diferenta lor obtinem catul 5 si testul 2.Deter cele 2 nr.
9)suma a trei nr nat a,b,c este 232.impartind a la b  obtinem catul 14 si restil 5,iar impartind pe b la c obtinem catul 7 si restul 1.deter. nr.
10)sma a trei nr nat este 297.impartind primul nr la al doilea obtinem catul 2 si restul 25,iar impartind primul la al treilea obtinem catul 11 si restul 8.deter nr.
11)Dif. a 2 nr.nat este 193.Impartind nr mai mare la dublul numarului mai mic obtinem rastul 6 si catul10.Derminati numerele
12)Suna a 2 nr.nat.este 334.Impartind nr mai mare la triplul nr mai mic obtinem catul 36 si restul 7. determinati numerele
13)Dif. a 2 nr nat este 149.Impartind numarul mai mare la jumatatea numarului mai mic obtinem catul 16 si restul 9.Determinati numerele.

Answer 1

[tex]1a)a=2003+2*(1+2+...............+2002) \\ a=2003+2* \frac{2002(2002+1)}{2} \\ a=2003+2002*2003 \\ a=2003(1+2002)\\ a=2003^2=p.p \\ \\ 1b)b=1+3+5+........+2011 \\ b= \frac{1006(2011+1)}{2} \\ b= \frac{1006*2012}{2} \\ b=1006^2=p.p \\ \\ 1c)c=81+2*81+3*81+.....+49*81 \\ c=81*(1+2+3+....+49) \\ c=81* \frac{49(49+1)}{2} \\ c=81*49*25 \\ c=(9*7*5)^2 =p.p[/tex]


[tex]2)x=5(n+1)+6^{n+2}+1001^{n+3}+5 \\ u(5n+1)=u(0+1)~sau~u(5+1)=1~sau~6 \\ u(6^{n+2})=6 \\ u(1001^{n+3})=u(1^{n+3})=1 \\ u(x)=u(1+6+1+5)~sau~u(6+6+1+5) \\ u(x)=3~sau~8 \\ x \ne p.p~pentru~ca~are~ultima~cifra~3~sau~8[/tex]


[tex]3)a=7b \\ 86 <7b <94|:7 \\ 12,2<b<13,4 \Longrightarrow b=13~si~a=91[/tex]


$4)a=9b \\ 140 <9b <149|:9 \\ 15,5<b<16,5 \Longrightarrow b=16~si~a=144$


$5)a=13b \\ 140< 13b < 155|:13 \\ 10,7<b<11,9 \Longrightarrow b=11~si~a=143$


[tex]6)a+b+c=121 \\ a:c=10~r~5 \Longrightarrow a=10c+5 \\ b:c=5~r~4 \Longrightarrow c=5c+4 \\ 10c+5+5c+4+c=121 \\ 16c+9=121 \\ 16c=112 \\ \underline{c=7} \\ a=7*10+5 \\ \underline{a=75} \\ b=7*5+4 \\ \underline{b=39}[/tex]


[tex]7)a+b+c=135 \\ a:c=12~r~1 \Longrightarrow a=12c+1 \\ b:c=31~r~2 \Longrightarrow b=31c+2 \\ 12c+1+31c+2+c=135 \\ 44c+3=135 \\ 44c=132 \\ \underline{c=3} \\ a=12*3+1 \\ \underline{a=37} \\ b=31*3+2 \\ \underline{b=95}[/tex]


[tex]8)a=b+72 \\ (a+b):(a-b)=5~r~2 \\ (2b+72):72=5~r~2 \Longrightarrow 2b+72=362 \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2b=290 \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\underline{b=145} \\ a=145+72 \\ \underline{a=217} [/tex]


[tex]9)a+b+c=232 \\ a:b=14~r~5 \Longrightarrow a=14b+5 \\ b:c=7~r~1 \Longrightarrow b=7c+1~deci~a=98c+19 \\ 98c+19+7c+1+c=232 \\ 106c+20=232 \\ 106c=212 \\ \underline{c=2} \\ a=98*2+19 \\ \underline{a=215} \\ b=7*2+1 \\ \underline{b=15} [/tex]


[tex]10)a+b+c=297 \\ a:b=2~r~25 \Longrightarrow a=2b+25\\ a:c=11~r~8 \Longrightarrow a=11c+8 \\ 2b+25=11c+8 \Longrightarrow b= \frac{11c-17}{2} \\ ^{2)}11c+^{2)}8+ \frac{11c-17}{2}+^{2)}c=^{2)}297|*2 \\ 22c+16+11c-17+2c=594 \\ 35c-1=594 \\ 35c=595 \\ \underline{c=17} \\ a=17*11+8 \\ \underline{a=195} \\ b=297-195-17 \\ \underline{b=85}[/tex]


[tex]12)a+b=334 \\ a:3b=36~r~7 \Longrightarrow a=108b+7 \\ 108b+7+b=334 \\ 109b=327 \\ \underline{b=3} \\ a=334-3 \\ \underline{a=331}[/tex]

LA 11 SI LA 13 MI-A DAT GRESIT SI NU AM REFACUT CA SUNT OBOSITA. 11 DIN 13 TOT E BINE, SPER CA TE-AM AJUTAT :D !