Question

URGENT!!!
Aratati ca numerele de forma n^2(7n^6-5x3^4+3n^2-1) sunt divizibile cu 2,oricare ar fi n numar natural mai mare decat 1.

Answer 1

n^2(7n^6-5 x 3^4 +3n^2 - 1)=n^2(7n^6+3n^2) -n^2 x 406
pentru n par, n=2k divizibilitatea cu 2 este evidenta
pentru n impar n=2k+1 avem:
7n^8+3n^4 - n^2 x 406=7 x (2k+1)^8 + 3 x (2k+1)^4 - (2k+1)^2 x 406
ultimul termen este par deci divizibil cu 2
se observa ca  descompunerea lui (2k+1)^m = M x 2k +1 si prin urmare:
7(2k+1)^8 + 3(2k+1)^4=7M1 x 2k + 7 + 3M2 x 2k +3 =M3 x 2k +10 care e divizibil cu 2 deci expresia din enunt este divizibila cu 2 pentru n natural