Question

URGENT VA ROG!
Aratati ca a la patrat / b la patrat + b la patrat / c la patrat + c la patrat / a la patrat > sau egal cu a/c + b/a + c/b , a,b,c nr reale pozitive.

Answer 1

Sa se demonstreze ca : a²/b²+b²/c²+c²/a²≥a/c+b/a+c/b  . Plecam de la o inegalitate evidenta de forma :  (x-y)²≥0 ⇔ x²-2xy+y²≥0 si o aplicam in 3 variante , dupa cum urmeaza :
1)  (a/b)²-2·a/b·b/c+(b/c)²≥0 ⇔ a²/b²-2·a/c+b²/c²≥0  (1)  
2)  (b/c)²-2·b/c·c/a+(c/a)²≥0 ⇔ b²/c²-2·b/a+c²/a²≥0  (2)  
3)  (a/b)²-2·a/b·c/a+(c/a)²≥0 ⇔ a²/b²-2·c/b+c²/a²≥0  (3)  Se aduna cele 3 inegalitati (1);(2) si (3) membru cu membru ⇒
2·a²/b²+2·b²/c²+2·c²/a²-2·a/c-2·b/a-2·c/b≥0  |:2  ⇔ 
a²/b²+b²/c²+c²/a²-a/c-b/a-c/b≥0  |+a/c+b/a+c/b   ⇔
a²/b²+b²/c²+c²/a²≥a/c+b/a+c/b .   q.e.d.