Question

URGENT VA ROG FRUMOS.
o functie e descrescatoare cand derivata e negativa stiu..insa valorile lui m? ce conditie ii pun lui delta??

Answer 1

casa fie descrescatoare, derivattrebuiesa fie tot timpulnegativa
 am obtinut la numaratorulderivatei expresia
mx²-2x+m
iar la numarator1+x², tot timpul pozitiv
 semnul estedatde numarator, o functiwe de grad 2 avand semnul lui a pe toata multimea R, daca Δ<0
deci conditiile sunt Δ<0 si m<0, ptca a=m
de unde calculele si concluzia
 da, exista  m ∈(-∞;-1)

verificare m=-2
f(x) =-2x-ln(1+x²)
f'(x) =-2+2x/(1+x²)=(-2-2x²+2x)/(1+x²)

-x²+x-1 are Δ=1-4=-3<0 deci are semnul - pe tot R

Answer 2

[tex]\it f(x) = mx -ln(1+x^2) \\\;\\ f'(x) = m-\dfrac{2x}{1+x^2} = \dfrac{m+mx^2-2x}{1+x^2} =\dfrac{mx^2-2x+m}{1+x^2}[/tex]


$\it f\ descresc\u{\it a}toare \ pe\ \mathbb{R} \Leftrightarrow f'(x)\ \textless \ 0,\ \forall x\in \mathbb{R}$


[tex]\it f'(x)\ \textless \ 0 \Rightarrow \dfrac{mx^2-2x+m}{1+x^2} \ \textless \ 0 \\\;\\ Dar\ 1+x^2 \ \textgreater \ 0,\ \forall x\in \mathbb{R},\ deci\ \ f'(x)\ \textless \ 0 \Rightarrow mx^2-2x+m \ \textless \ 0 \ \ \ (*) [/tex]

 Relația (*) are loc, pentru oricare x real,   dacă m < 0 și Δ < 0

Δ < 0 ⇒ 4 - 4m² < 0 ⇒ 4(1 - m²) < 0 ⇒ 1 - m² < 0 ⇒ m² > 1 ⇒

⇒ m ∈ (-∞,  -1) ∪ (1,  ∞)

Dar m < 0 ⇒ m ∈(-∞,  -1)