Question

Urgent!! Va rog tare mult exercițiile până la 16! Ofer 50 de puncte și coroana!!​

Answer 1

13.

scriem ca puteri ale lui 2 și 3 numerele 6ⁿ⁺¹ și 9ⁿ⁺¹:

6ⁿ⁺¹ = (2·3)ⁿ⁺¹ = 2ⁿ⁺¹ · 3ⁿ⁺¹

9ⁿ⁺¹ = (3²)ⁿ⁺¹ = 3²⁽ⁿ⁺¹⁾ = (3ⁿ⁺¹)²

calculăm a:

$\displaystyle a=\frac{2^{n} }{3^{n} } \cdot \frac{3^{n+1}+(3^{n+1}) ^{2}}{2^{n+1}+2^{n+1}\cdot3^{n+1}} =\frac{2^{n} }{3^{n} } \cdot \frac{3^{n+1}(1+3^{n+1})}{2^{n+1}(1+3^{n+1})} =\frac{3}{2}$

calculăm expresia cerută de enunț:

$\displaystyle (\frac{2a}{3} )^{100} =(\frac{2\cdot\frac{3}{2} }{3} )^{100} =(\frac{3}{3} )^{100}=1^{100} =1$

14.

$\displaystyle ma(1,2,4) =\frac{1}{\frac{\frac{1}{1} +\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}{3} } =\frac{3}{\frac{1}{1} +\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}=\frac{3}{\frac{7}{4} } =\frac{12}{7}$

15.

$\displaystyle 9x=9\cdot \frac{\frac{\overline{abc}-\overline{ab}}{90}+\frac{\overline{bca}-\overline{bc}}{90}+\frac{\overline{cab}-\overline{ca}}{90} }{a+b+c} =\frac{\frac{\overline{abc}-\overline{ab}}{10}+\frac{\overline{bca}-\overline{bc}}{10}+\frac{\overline{cab}-\overline{ca}}{10} }{a+b+c} =$

$\disaplystyle =\frac{(100a+10b+c-10a-b)+(100b+10c+a-10b-c)+(100c+10a+b-10c-a)}{10(a+b+c)}=$

$\disaplystyle =\frac{90a+9b+c+90b+9c+a+90c+9a+b}{10(a+b+c)}=$

$\disaplystyle =\frac{90(a+b+c)+9(a+b+c)+(a+b+c)}{10(a+b+c)}=$

$\disaplystyle =\frac{90+9+1}{10}=\frac{100}{10} =10$

⇒ 9x ∈ N

16.

$\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{48}{5} \in\ \mathbb{N}$  

$\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{36}{7} \in\ \mathbb{N}$

Ambele înmulțiri trebuie să poată fi simplificate astfel încât numitorii să se egaleze cu 1. Deci a trebuie să se dividă cu 5 și cu 7, iar b trebuie să se dividă cu 48 și cu 36.

⇒ a = cmmmc(5, 7) = 35

b = cmmmc(48, 36) = cmmmc(2⁴·3, 2²·3²) = 2⁴ · 3² = 144

$\displaystyle \frac{a}{b} =\frac{35}{144}$