Question

URGENTFie functia f:[0,1]→R:
f(x)= x², daca 0≤ x≤ 1/2
x/3, daca 1/2 ≤ x≤1
a) Sa se arate ca functia este discontinua in punctul x= 1/2
b) Sa se traseze graficul functiei f
c) Sa se arate ca functia f isi atinge marginile si ca multimea valorilor ei este un interval inchis.

Answer 1

a.x→1/2 x<0 Ls =lim f(x)= (1/2)²=1/4
x→1/2  x>1/2 lim  f(x)= (1/2)·1/3=1/6
Ls≠Ld  functia  nu  e  continua  in 1/2
b.Intersectia  cu  Ox f(x)=0  =>  x=0  O(0,0)
f `(x)={2x  pt  0≤x≤1/2
{1/6>0  ≤1/2 pt x≤1
f`  este  pozitiva pe [ 0, 1]  deci f  este  crescatoare
Pe  intervalul [0,1/2]  functia  reprezinta  un  arc  de  parabola
f(1/2)=1/4  A (1/2  ,1/4)
Pe  intervalul [1/2, 1]  functia  reprezinta  un  segment  de  dreapta  [AB]
f(1)=1   B(1,1)
c. 
cum f(x)  este  strict  crescatoare  inseamna  ca  va  lua  valoarea  minima  in  0  f(0)=0  si  valoarea  maxima  in  1 f(1)=1
Deci  f([0,1])=[0,1]