Question

UTCN 55
Fie m, n ∈ R, x1, x2, x3 radacinile ecuatiei x^3 + mx + n = 0 si matricea... are indicatii dar tot nu pot sa dau de cap ce formule si reguli se folosesc (poze mai jos)
Prin varinata classica sa calculezi A^2 si sa faci det nici o sansa da un numar grozav de mare

Answer 1

Răspuns:

Relațiile lui Viete sunt:

$x_1+x_2+x_3=0\\x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m\\x_1x_2x_3=-n$

Notăm $S_k=x_1^k+x_2^k+x_3^k$

Din înmulțirea matrice A cu transpusa ei se obține

$A\cdot A^t=\begin{pmatrix}3 & S_1 & S_2\\S_1 & S_2 & S_3\\S_2 & S_3 & S_4\end{pmatrix}$

Avem

$S_1=0$

$S_2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=-2m$

Pentru $S_3$ se înlocuiește x pe rând cu rădăcinile și se adună relațiile. Se obține

$S_3+mS_1+3n=0$ apoi se calculează $S_3$

Analog avem

$S_4+mS_2+nS_1=0$ și se calculează $S_4$

Apoi $\det(AA^t)=\det(A)\cdot\det(A^t)=\det(A)\det(A)=\left(\det(A)\right)^2=\det(A^2)$

Explicație pas cu pas: