Question

Utilizind metoda integrarii prin parti,calculati:
$\int\limits^1_0 {xln(x+1)} \, dx$

Ajutati-ma va rog!^)

Answer 1

In loc de functia x folosesti functia derivata ( x^2 / 2 )'   ;
Mai ai nevoie de [ ln( x + 1 ) ] ' = 1 / ( x + 1 );
Aplici formula integrarii prin parti => [ ( x^2 / 2 ) * ln( x + 1 ) ] calculata de la 0 la 1 -
- integrala definita de la 0 la 1 din ( x^2 / 2 ) * [ 1 / ( x + 1 ) ] => ( ln 2 ) / 2 - integrala definita de la 0 la 1 din ( x^2 / 2 ) * [ 1 / ( x + 1 ) ];
Pentru calculul ultimei integrale faci asa : x^2 = ( x^2 -1 ) + 1 ;
si ai ( 1 /  2 ) * ( integrala definita de la 0 la 1 din x - 1 dx  + integrala definita de la 0 la 1 din 1 / ( x + 1 ) dx ) = ( 1 / 2 ) * [ ( x^2 / 2 - x calculata de la 0 la 1 + ln/ x + 1 / calculata de la 0 la 1 ] = ( 1 / 2 ) * ( - 1 / 2 + ln 2 ) = - 1 / 4 + ( ln 2) / 2;
In final ai : ( ln 2 ) / 2  + 1 / 4 - ( ln 2 ) / 2  =  1 / 4.

Bafta!