Question

Va rog ajutati-ma cu exercițiul 2 ca nu pricep integralele astea.

Answer 1

$\displaystyle 2.~~~f,F:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R},~f(x)=\frac{lnx+2}{\sqrt{x} },~F(x)=2\sqrt{x} lnx\\ \\ a)~F'(x)=(2\sqrt{x} lnx)'=2(\sqrt{x}lnx)'=2((\sqrt{x} )'lnx+\sqrt{x} (lnx)')=\\ \\ =2\left(\frac{1}{2\sqrt{x} } \cdot lnx+\sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} \right)=2 \cdot \frac{xlnx+2x}{2x\sqrt{x} }}=\frac{xlnx+2x}{x\sqrt{x} } =\\ \\ =\frac{x(lnx+2)}{x\sqrt{x} } =\frac{lnx+2}{\sqrt{x}}=f(x)$

$\displaystyle b)~\int\limits_1^ef(x)dx=\int\limits_1^e\frac{lnx+2}{\sqrt{x}}dx=\int\limits_1^e\frac{1}{\sqrt{x}}(lnx+2)dx\\\\\int\limits \frac{1}{\sqrt{x}}(lnx+2)dx\\\\\int\limits f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int\limits f'(x)g(x)dx\\ \\ f(x)=lnx+2~~~~~~~~~~~~~~~f'(x)=(lnx+2)'=(lnx)'+2'=\frac{1}{x} \\ \\ g'(x)=\frac{1}{\sqrt{x} } ~~~~~~~~~~~~~~~g(x)=\int\limits\frac{1}{\sqrt{x} } dx=\int\limits x^{-\frac{1}{2} }dx=\frac{x^{\frac{1}{2} }}{\frac{1}{2} } =x^{\frac{1}{2} }\cdot 2=2\sqrt{x}$

$\displaystyle \int\limits \frac{1}{\sqrt{x} } (lnx+2)dx=(lnx+2) \cdot 2\sqrt{x} -\int\limits \frac{1}{x} \cdot 2\sqrt{x} dx=\\ \\ =2\sqrt{x} lnx+4\sqrt{x} -2\int\limits \frac{\sqrt{x} }{x} dx=2\sqrt{x} lnx+4\sqrt{x} -2\int\limits \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} dx=\\ \\ =2\sqrt{x} lnx+4\sqrt{x} -2 \int\limits \frac{1}{x^{\frac{1}{2} }} dx=2\sqrt{x} lnx+4\sqrt{x} -2 \cdot 2\sqrt{x} +C=\\ \\ =2\sqrt{x} lnx+4\sqrt{x} -4\sqrt{x} +C=2\sqrt{x} lnx+C$

$\displaystyle\int\limits_1^ef(x)dx=\int\limits_1^e\frac{lnx+2}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x} lnx\Bigg|_1^e=2\sqrt{e}lne-2\sqrt{1} ln1=\\ \\ =2\sqrt{e}\cdot 1-2\cdot 1\cdot 0=\mathbf{2\sqrt{e}}$

$\displaystyle c)~\int\limits_1^e f(x) \cdot F(x)dx=\int\limits_1^e\frac{lnx+2}{\sqrt{x} } \cdot 2\sqrt{x} lnxdx=\int\limits_1^e(lnx+2)\cdot 2lnxdx=\\ \\ =\int\limits_1^e(2ln^2x+4lnx)dx=\int\limits_1^e2ln^2xdx+\int\limits_1^e4lnxdx=2\int\limits_1^eln^2xdx+4\int\limits_1^elnxdx$

$\displaystyle \int\limits ln^2xdx\\ \\ \int\limits f(x)g'(x)=f(x)g(x)-\int\limits f'(x)g(x)dx\\ \\ f(x)=ln^2x \\ \\ f'(x)=(ln^2x)'=(lnx\cdot lnx)'=(lnx)'lnx+lnx(lnx)'=\\ \\ =\frac{1}{x} \cdot lnx+lnx \cdot \frac{1}{x} =\frac{lnx}{x} +\frac{lnx}{x} =\frac{2lnx}{x} \\ \\ g'(x)=1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~g(x)=\int\limits dx=x~\\ \\ \int\limits ln^2xdx=ln^2x \cdot x-\int\limits \frac{2lnx}{x} \cdot xdx=xln^2x-\int\limits 2lnxdx=\\ \\ =xln^2x-2\int\limits lnxdx$

$\displaystyle \int\limits lnxdx\\ \\ f(x)=lnx~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~f'(x)=(lnx)'=\frac{1}{x} ~\\ \\ g'(x)=1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~g(x)=\int\limits dx=x\\ \\ \int\limits lnx=lnx \cdot x-\int\limits \frac{1}{x} \cdot xdx=xlnx-\int\limits dx=xlnx-x+C\\ \\ \int\limits ln^2xdx=xln^2x-2 \int\limits lnxdx=xln^2x-2(xlnx-x)+C=\\ \\ =xln^2x-2xlnx+2x+C$

$\displaystyle \int\limits _1^e f(x) \cdot F(x)dx=2\int\limits_1^eln^2xdx+4\int\limits_1^elnxdx=\\ \\ =2(xln^2x-2xlnx+2x)\Bigg|_1^e+4(xlnx-x)\Bigg|_1^e=\\ \\ =2(eln^2e-2elne+2e-(1 \cdot ln^21-2 \cdot 1 \cdot ln1+2 \cdot 1))+4(elne-e-\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-(1 \cdot ln1-1))=\\ \\ =2(e \cdot 1-2e \cdot 1+2e-((1 \cdot 0-2 \cdot 0+2))+4(e \cdot 1-e-(0-1))=\\ \\ =2(e-2e+2e-2)+4(e-e+1)=2(e-2)+4\cdot 1=2e-4+4=\mathbf{2e}$