Question

Va rog ajutati-ma!Dau coroana +30 de puncte

Answer 1

La 33:
Calculam suma primilor doi termeni, dand factor comun tot ce se poate:
$\frac{a^{2012}}{b^{2012}} ( \frac{a}{b}+\frac{c}{d})= \frac{a^{2012}}{b^{2012}}$ (deoarece $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=1$
Se observa ca s-a redus exponentul cu 1.
Se aduna acest rezultat cu urmatorul termen si obtinem
$\frac{a^{2011}}{b^{2011}} ( \frac{a}{b}+\frac{c}{d})= \frac{a^{2011}}{b^{2011}}$
Deci adunand termen cu termen, exponentii se micsoreaza si in final vom ramane cu $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=1$.

La 34.
La prima fractie:
La numarator, Se calculeaza Suma Gauss cu formula:
$1+2+3+...+2010= \frac{2010*2011}{2}=\frac{1005*2011}$
La numitor se grupeaza termenii cate 2, unul cu + si unul cu -. Vom avea 1+1+1+...+1 de 2010:2=1005 ori, deci numitorul=1005.

La a doua fractie, la numitor avem:
[tex] \frac{1}{1*2}+ \frac{1}{2*3}+ \frac{1}{3*4}+...+ \frac{1}{2010*2011}= \\ \\ = \frac{1}{1}- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}- \frac{1}{3} + \frac{1}{3}- \frac{1}{4}+...+ \frac{1}{2010}- \frac{1}{2011}= \frac{1}{1}- \frac{1}{2011}= \frac{2010}{2011} [/tex] (se observa ca fiecare termen cu minus se reduce cu altul de dupa el, in final ramanand doar primul si ultimul termen).

Revenind la ecuatia noastra, avem o proportie in care x este termen necunoscut:
$x= \frac{1005*2011* \frac{2010}{2011}}{1005}=2010$
(dupa ce simplificam tot ce se poate)

35)
- Grupam cate 4 termeni  consecutivi din suma si ne vor ramane primii doi negrupati(am scris suma invers):
-Dam factor comun tot ce se poate in fiecare din paranteze si la ultimii doi
termeni:[tex](3^1+3^2+3^3+3^4)+(3^5+3^6+3^7+3^8)+...\\ ...+(3^{45}+3^{46}+3^{47}+3^{48})+3^{49}+3^{50}=\\
=3(1+3+9+27)+3^5(1+3+9+27)+...+3^{45}(1+3+9+27)+\\+3^{49}(1+3)=\\ 3*40+3^5*40+...+3^{45}*40+3^{49}*4=\\ 10(3*4+3^5*4+...+3^{45}*4+3^{49}*4[/tex]
$a*b=2*10(3*4+3^5*4+...+3^{45}*4)+3^{49}*4*2=\\ 10(......)+3^{49}*8$)
Deci ultima cifra a produsului ab va fi data de ultima cifra a produsului $)3^{49}*8$
Utima cifra a puterilor lui 3 este:
[tex]3^1=3 \\ 3^2=9 \\ 3^3=7 \\ 3^4=1\\ 3^5=3.... etc[/tex]
Sunt 4 cifre in care se poate termina o putere a lui 3, deci pt a afla ultima cifra a lui 3 la 49 impartim pe 49 la 4
$49:4=12 rest 1$ 
Deci ultima cifra a lui 3 la 49 este 3 (prima cifra din grupul de 4 care se repeta)
Atunci 8*(4 la 39) se va termina in Ultima cifra a lui 3*8=4, deci U(ab)=4