Question

va rog ajutati ma dau coroana plizz repedee trec a 7 a

Answer 1

11) a = (2n+1)(5n-3)(4n+1) divizibil cu 3

a divizibil cu 3 <=>

2n+1 divizibil cu 3 ; 2n+1 divizibil cu 3 pentru n = 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; etc

5n-3 divizibil cu 3 ; 5n-3 divizibil cu 3 pentru n = 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; etc

4n+1 divizibil cu 3 ; 4n+1 divizibil cu 3 pentru n = 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; etc

=> ∀ n ∈ N => a divizibil cu 3.

Answer 2

$\displaystyle\\10)\\\\\text{Folosim formula: }~~\frac{k}{n(n+k)}= \frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\\\\\frac{3}{2\cdot5}+\frac{4}{5\cdot9}+\frac{5}{9\cdot14}+\frac{7}{14\cdot21}+ \frac{11}{21\cdot32}=\\\\=\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{14}+\frac{1}{14}-\frac{1}{21}+\frac{1}{21}-\frac{1}{32}=\\\\\text{Reducem termenii asemenea.}\\\\=\frac{1}{2}-\frac{1}{32}=\frac{16}{32}-\frac{1}{32}=\boxed{\bf \frac{15}{32}}$

.

.

$\displaystyle\\11)\\\\a=(2n+1)(5n-3)(4n+1)\\\\\text{Avem un produs de paranteze.}\\\text{Daca una din paranteze este divizibila cu 3, }\\\text{atunci tot produsul este divizibil cu 3.}$

$\displaystyle\\\text{Daca } n=3k \in \{0;3;6;9;...\}, \text{atunci: }\\(5n-3)=(5\cdot 3k-3)=3(5k-1)~\vdots~3 \\\text{Rezulta ca paranteza a 2-a este divizibila cu 3 daca }~n=3k\\\\\\\text{Daca } n=3k+1 \in \{1;4;7;10;...\}, \text{atunci: }\\(2n+1)=(2(3k+1)+1)=(6k+2+1)=(6k+3)= 3(2k+1)~\vdots~3 \\\text{Rezulta ca prima paranteza este divizibila cu 3 daca }~n=3k+1$

.

$\displaystyle\\\text{Daca } n=3k+2 \in \{2;5;8;11;...\}, \text{atunci: }\\(4n+1)=(4(3k+2)+1)=(12k+8+1)=(12k+9)= 3(4k+3)~\vdots~3 \\\text{Rezulta ca paranteza a treia este divizibila cu 3 daca }~n=3k+2\\\\\text{Rezulta ca in functie de valoarea lui n, una din paranteze se divide cu 3.}\\\\\Longrightarrow ~~a = (2n+1)(5n-1)(4n+1) ~\vdots~3$

.

.