Question

Va-rog ajutati-ma ex 14

Answer 1

Daca triunghiul ABC dreptunghic in A, iar O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC => O este mijlocul ipotenuzei BC, deoarece in triunghi dreptunghic centrul cercului circumscris coincide cu mijlocul ipotenuzei.
Calculam cu T. Pitagora lungimea ipotenuzei AB;
BCla 2=AB la2+AC la 2 = 18la 2+24la2=324+576=900
=> BC=radic.900, BC=30cm.
Deci OC=OB=15cm (*)

Daca MO perpendicular pe planul (ABC) => MO perpend. pe orice dreapta din planul (ABC), =>MO perp. OC =>Triunghiul MOC dreptunghic in O
Aplicam aici T. Pitagora pt a calcula distanta d(M,C);
MCla2 = MOla2+OCla2 = 20la2+15la2= 400+225=625
=> MC=radic. 625, =>MC=25cm.

Dar triunghiul MOC congruent cu triungh. MOB
(au MO lat comuna,
<COM=<MOB=90grade si
BO+OC din (*)
=>MB=MC-se opun la unghiuri congr. in triung. congruente
=.MB=25cm

daca MO perp. pe (ABC) =>MO perp. AO, unde AO e mediatoarea din (<A);
se stie ca in triunghi dreptunghic, mediatoarea din unghiul drept este jumatate din ipotenuiza (ipotenuza coincjde cu diametrul cercului circumscris, iar mediatoarea e raza)
=>AO=30:2=15cm.
Aplicam in triunghiul MOA(M<A=90grade) T. Pitagora si avand aceleasi dimensiuni pt catete ca la punctele anterioare obtinem
 AM= 25cm.
.

Answer 2

MABC este o piramida cu baza un triunghi dreptunghic
O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC si se afla la jumatatea ipotenuzei BC, BO=OC
MO⊥(ABC) asta inseamna ca:
MO⊥OA
MO⊥OB
MO⊥OC (o dreapta perpendiculara pe un plan este perpendiculara pe orice dreapta continuta in plan)
unde OA=OB=OC=R raza cercului circumscris triunghiului

aria triunghiului ABC
A=AB x AC/2=18x24/2
A=216 cm2

ipotenuza BC
BC^2=AB^2+AC^2=18^2+24^2=900
BC=30cm

AO este mediana deci:
AO=BC/2
AO=BO=CO=R=15 cm
raza cercului circumscris in functie de laturile triunghiului
R=AO=BO=CO=(ABxACxBC)/4xA=(18x24x30)/4x216
R=15 cm

se observa usor ca triunghiurilr MOA, MOB si MOC sunt congruente si prin urmare:
MA=MB=MC=√(MO^2+R^2)=√(400+225)=25 cm

in triunghiul isoscel MAB MD e mediana si inaltime, D este la mijlocul laturii AB
MD^2=MB^2-AB^2/4 = 25^2-81=544
MD=4√34 cm

in triunghiul isoscel MAC, ME este mediana si inaltime, E este la mijlocul laturii AC

ME^2=MA^2-AC^2/4=25^2-12^2=481
ME=√481 cm