Question

vă rog ajutați-ma, -funcția inversabila-​

Answer 1

Răspuns:

a)f(x)=(2x+5)/(4x+3)

Verifici   da ca   functia   sa  fie   bijectiva,  adica injectiva   si    surjectiva

i.injectivA   f(x1)=f(x2)

(2x1+5)/(4x1+3)=(2x2+5)/(4x2+3)

(2x1+5)(4x2+3)=(2x2+5)(4x1+3)

8x1x2+20x2+6x1+15=8x1x2+20x1+6x2+15

20x2+6x1-20x1-6x2=0

20x2-20x1)-(6x2-6x1)=0

20(x2-x1)-6(x2-x1)=0

14(x2-x1=0=>x1=x2   =>   f  injectiva

surjectiva

f(x)=y

y=(2x+5)/(4x+3)

y(4x+3)=2x+5

4xy+3y=2x+5

4xy-2x=5-3y

2x(2y-1)=5-3y

x=(5-3y)/2(2y-1)

Deci  2y-1≠0

y≠1/2

y∈R\{1/2}

imf=codomeniu  =>

f   surjectiva

Deoarece  f   este   si  injectiva  si   surjectiva,  atunci   este   bijectiva

Am   aratat   ca   y=(5-3y)/2(2y-1)

f(y)=(5-3y)/2(2y-1)

Faci  schimbarea   de   variabila

y=x

f⁻¹(x)=(5-3x)/2(2x-1)

Revin  imediat

__________________________________

b)f(x)=(x-1)/(x+1)

verifici  bijectivitatea

injectiva  f(x1)=f(x2)

f(x!)=f(x2)

(x1-1)/(x1+1)=(x2-1)/(x2+1)

(x1-1)(x2+1)=(x2-1)(x1+1)

x1x2-x2+x1-1=x1x2-x1+x2-1

(x1-x2)=(x2-x1)

(x1-x2)-(x2-x1)=0

(x1-x2)+(x1-x2)=0

2(x1-x2)=0

x1-x2=0

x1=x2  Functie   injectiva

___

surjectivitatea

y=(x-1)/(x+!)

yx+y=x-1

yx-x=-y-1

x= (-y-1)/(y-1)

x=(y+1)/(y-1)

y≠1

Imf=domeniu=R\{1}  functia   surjectiva

Inversa

x=(Y+!)/(y-1)

f(y)=(y+1)/(y-1)

y=x

f⁻¹(x)=(x+1)/(x-1)

Explicație pas cu pas: