Question

Va rog ajutați-mă rapid...tema de vacanta
Să se determine valorile lui a €R astfel încât radacinile ecuatiei urmatoare sa indeplineasca conditiile indicate:
ax^2+(2a+1)x+a-1=0, x1 <1,x2 <1

Answer 1

Pentru o ecuatie de forma $a*x^{2}+bx+c$ stim ca are solutiile
$x1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
$x2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}{2a}}$
unde
$\Delta=b^{2}-4ac$
In cazul nostru
$\Delta=(2a+1)^{2}-4a*(a-1)=4a^{2}+4a+1-4a^{2}+4a=8a+1$
Atunci
$x1<1\Rightarrow \frac{-(2a+1)+\sqrt{\Delta}}{2a}<1\Rightarrow -(2a+1)+\sqrt{\Delta}<2a\Rightarrow \sqrt{\Delta}<2a+2a+1\Rightarrow \sqrt{8a+1}<4a+1$
Ridicam inegalitatea la patrat
$8a+1<(4a+1)^{2}=16a^{2}+8a+1\Rightarrow 0<16a^{2}$
Deci ecuatia este adevarata daca a>0
Urmand aceiasi pasi pentru x2, ajungem la relatia
$-\sqrt{8a+1}<4a+1$ care atunci cand este ridicata la patrat, va duce la aceeasi formula. Deci a>0 este conditia ca valorile x1 si x2 sa fie ambele mai mici decat 1..

Answer 2

pentru ca ecuatia sa aibe solutii reale Δ=(2a+1)²-4a(a-1)≥0
4a²+4a+1-4a²+4a≥0
8a+1≥0, a≥-1/8, a∈[-1/8, +∞)
x1<1
x2<1
x1+x2<2
din relatiile lui Viete
x1+x2=-(2a+1)/a
-(2a+1)/a<2
-(2a+1)/a-2<0
-(2a+1)/a-2a/a<0
(-2a-1-2a)/a<0
(4a+1)/a>0, 
    a       I-∞             -1/4                  0                  +∞
     4a+1I-----------------0+++++++++++++++++++++
    a       I-----------------------------------0++++++++++
(4a+1)/aI++++++++++0----------------I++++++++++
a∈(-∞-1/4]∪(0,+∞)
a∈[-1/8,+∞)
a∈(0, +∞)