Question

va rog ajutati ma! va rog muult!​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Parte stabila in raport cu o anumită lege de compoziție:

înseamnă că dacă luăm orice două elemente de forma din mulțimea respectivă și aplicam legea de compoziție pt ele, rezultatul este tot un element din mulțimea respectivă, adică de aceeași formă.

Prin contraexemplu înțelegi cel mai bine.

Contraexemplu:

Mulțimea Nr naturale nu este parte stabila in raport cu scăderea. Pentru că dacă scazi un Nr mai mare dintr-un Nr mai mic, rezultatul este negativ și nu mai aparține acelei multimi, adică lui N.

Să trecem la problema de fata.

1) Sa luăm două elemente oarecare din 3Z.

X=3m, y=3n, m și n din Z

x+y=3m+3n=3(m+n). Cum m+n este și el din Z, înseamnă că x+y este de forma 3 ori ceva din Z, deci aparține mulțimii 3Z.

Ca sa înțelegi mai ușor, gândești așa. Daca aduni doi multipli de 3, rezultatul este tot un multiplu de 3? Răspuns: DA.

Să vedem in raport cu înmulțirea. Daca înmulțești doi multipli de 3, rezultatul este un multiplu de 3? Categoric. Ba chiar este un multiplu de 9.

x*y=(3m)*(3n)=3(3mn), iar 3mn este din Z. Deci x*y este de forma 3 ori ceva din Z.

Așadar 3Z este parte stabila in raport cu adunarea și înmulțirea.

2) Sa luăm două elemente oarecare din 3Z+1.

x=3m+1

y=3n+1

x+y=3(m+n)+2

Deci x+y este de forma 3 ori ceva plus 2, nu plus 1. Deci rezultatul nu este din 3Z+1.

Să vedem înmulțirea:

x*y= (3m+1)*(3n+1)= 9mn+3m+3n+1=3(3mn+m+n)+1

Cum 3mn+m+m este număr întreg, înseamnă că x*y este de forma 3 ori ceva plus 1, deci este din 3Z+1.

Din cele doua rezultă că 3Z+1 nu este parte stabila in raport cu adunarea, dar este parte stabila in raport cu înmulțirea.

Answer 2

$\it Fie\ x,\ y\in3\mathbb{Z} \Rightarrow x=3a,\ y=3b,\ \ unde\ \ a,\ b\in\mathbb{Z}\\ \\ x+y=3a+3b=3(a+b)\in3\mathbb{Z}\ \ \ \ \ (1)\\ \\ xy\ =\ 3a\cdot3b\ =\ 3\cdot(3ab)\in3\mathbb{Z}\ \ \ \ \ (2)\\ \\ (1),\ (2) \Rightarrow 3\mathbb{Z}\ este\ parte\ stabil\u a\ \^{\i}n\ raport\ cu\ adunarea\ \d si\ \^{\i}nmul\c{\it t}irea$