Question

Va rog ajutatima....e Urgent =]
1) Fie triunghiul ABC si M,N,P punctele de tangenta ale laturilor cu cercul inscris . Daca AB = 8cm , BC = 7cm si AC = 5cm , calculeaza lungimile segmentelor [AM] , [BN] si [CP] .

2) Perimetrul unui triunghi ABC este de 30 cm , iar latura [BC] are lungimea de 13 cm . Calculeaza lungimea segmentului AM , unde M este punctul de tangenta al laturii [AB] cu cercul inscris in triunghi .

Answer 1

1) Fie I=centrul cercului inscris in triunghiul ABC, deci I=intersectia bisectoarelor, si IM=IN=IP=raza cercului inscris. Se arata usor ca AM=AP=x (prin notatie) in triunghiurile dreptunghice congruente AIM si AIP (cazul I. C.), analog BC=BN=y, respectiv CN=CP=z.
Dar AB=AM+BM=x+y=8 cm
BC=BN+CN=y+z=7 cm
AC=AP+CP=x+z=5 cm

Adunand membru cu membru cele 3 relatii de mai sus: 
2(x+y+z)=8+7+5=20 cm, de unde: 
x+y+z=10 cm si scazand din aceasta relatie, pe rand, fiecare din cele trei relatii de mai sus: 
z=(x+y+z)-(x+y)=10-8=2 cm=CP
x=(x+y+z)-(y+z)=10-7=3 cm=AM
y=(x+y+z)-(x+z)=10-5=5 cm=BN

2) Analog notatiilor de la problema 1) avem:
2(x+y+z)=30 cm, de unde: 
x+y+z=15 cm
BC=y+z=13 cm si scazand din relatia precedenta:

AM=x=(x+y+z)-(y+z)=15-13=2 cm