Question

va rog ajutor
Fie A și B doua puncte pe cercul C(o;r), r=6. Măsura arcului mic AB este egală cu 120°
a)Calculați aria sectorului de cerc AOB(cel mic)
b)Aflați lungimea segmentului AB
c)Daca C aparține arcului maree AB și CA=CB, determinați aria triunghiului ABC ​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a) r = 6 => OA ≡ OB = 6

m(∢AOB) = m(arcAB) = 120°

$Aria_{sectorAOB} = \frac{\pi {r}^{2} \cdot m(\angle AOB)}{360 \degree } = \\ = \frac{\pi \cdot {6}^{2} \cdot 120 \degree}{360 \degree} = \frac{36\pi}{3} = \bf 12\pi$

b) AB² = OA² + OB² - 2×OA×OB×cos(∢AOB) = 6² + 6² - 2×6²×cos120° = 2×6²×[1 - (-sin30°)] = 72×(1 + ½) = 108

$\implies \bf AB = 6 \sqrt{3}$

c) m(∢ACB) = ½×m(arcAB) = 60°

CA = CB => m(arcCA) = m(arcCB)

360° - m(arcAB) = 360° - 120° = 240°

=> m(arcCA) = m(arcCB) = 120°

m(∢ABC) = ½×m(arcAC) = 60°

m(∢BAC) = ½×m(arcBC) = 60°

=> ΔABC este echilateral

$Aria_{\triangle ABC} = \frac{ {AB}^{2} \cdot \sqrt{3} }{4} = \frac{108 \cdot \sqrt{3} }{4} = \bf 27 \sqrt{3}$