Question

Va rog ajutor, ofer 100 de puncte, doar cele incercuite!!

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Demonstrație prin inducție matematică:

b)

1. Etapa de verificare: se verifică dacă propoziţia P(1) este adevărată:

$P(1) : 1 = 1(2 - 1) \\ \iff 1 = 1 \ (A) \implies P(1) \ (A)$

2. Etapa de demonstrație: se presupune că propoziţia P(n) este adevărată:

$P(n) \ (A) : 1 + 5 + 9 + ... + (4n - 3) = n(2n - 1)$

şi se demonstrează că P(n+1) este adevărată:

$P(n+1) : \underbrace{1 + 5 + 9 + ... + (4n - 3)}_{P(n)} + [4(n + 1) - 3] =$

$= n(2n - 1) + [4(n + 1) - 3] = 2n^{2} - n + 4n + 1$

$= 2n^{2} + 3n + 1 = 2n^{2} + n + 2n + 1$

$= n(2n + 1 + (2n + 1) = (n + 1)[(2n + 1]$

$= (n + 1)[(2(n + 1) - 1] \implies P(n + 1) \ (A)$

c)

1. Etapa de verificare: se verifică dacă propoziţia P(1) este adevărată:

$P(1) : 1(1 + 1) = \dfrac{1(1 + 1)(1 + 2)}{3} \\ \iff 2 = 2 \ (A) \implies P(1) \ (A)$

2. Etapa de demonstrație: se presupune că propoziţia P(n) este adevărată:

$P(n) \ (A) : 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + ... + n(n + 1) = \dfrac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$

şi se demonstrează că P(n+1) este adevărată:

$P(n+1) : \underbrace{1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + ... + n(n + 1)}_{P(n)} + (n + 1)(n + 2) =$

$= \dfrac{n(n + 1)(n + 2)}{3} + (n + 1)(n + 2)$

$= \dfrac{n(n + 1)(n + 2) + 3(n + 1)(n + 2)}{3}$

$= \dfrac{(n + 1)(n + 2)(n + 3)}{3} \implies P(n + 1) \ (A)$

q.e.d.