Question

VA ROG AJUTOR. Se dau a,b,c coeficientii reali ai unei ecuatii de gradul 2 si n un numar natural nenul. Fara a rezolva ecuatia sa se calculeze x₁ⁿ + x₂ⁿ, unde x₁ si x₂ sunt solutiile ecuatiei.

Answer 1

Avem ecuatia $ax^2 +bx+c=0$. Folosind relatiile lui Viete, putem calcula suma si produsul radacinilor $x_1$ si $x_2$:
$\left \{ {{x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}} \atop {x_1x_2=\frac{c}{a}}} \right.$
Fie $n\epsilon\mathbb{N^*}$. Notam $p_n={x_1}^n + {x_2}^n$. Cum $x_1$ si $x_2$ sunt radacini, ele verifica ecuatia, deci vom avea:
$\left \{ {a{x_1}^2+bx_1+c=0} \atop {a{x_2}^2+bx_2+c=0}} \right.$
Inmultim prima ecuatie cu ${x_1}^{n-2}$ si pe a doua cu ${x_2}^{n-2}$ si rezulta:
$\left \{ {a{x_1}^n+b{x_1}^{n-1}+{cx_1}^{n-2}=0} \atop {a{x_2}^n+{bx_2}^{n-1}+{cx_2}^{n-2}=0}} \right.$
Adunand ecuatiile si folosind notatia introdusa mai devreme, rezulta ca
$a({x_1}^n + {x_2}^n)+bp_{n-1}+cp_{n-2}=0$
deci
${x_1}^n + {x_2}^n=-\frac{b}{a}p_{n-1}-\frac{c}{a}p_{n-2}$.