Question

Va rog, daca ma puteti?? Se considera frunctia f: [ 0, +∞] ⇒ IR, f (x) = x/x+1 + x+1/x+2


Sa se demonstreze ca 1/2 ≤ f (x) ≤ 2 , pentru orice x [0.+ ∞]

Answer 1

Sunt mai multe posibilitai de abordare. Voi alege una care se poate face la gimnaziu. Intrucat domeniu are doar numere pozitive cele doua fractii cu ajutorul carora se defineste functia f sunt doi termeni pozitivi pentru orice x din domeniu. Avem:
[tex]f(x)= \frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}\geq\\ \geq \frac{x+1}{x+2}=\frac{x+2}{x+2}-\frac{1}{x+2}=1-\frac{1}{x+2}\geq1-\frac{1}{0+2}=\frac{1}{2},\forall x\geq0\\ f(x)= \frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}\leq1+1, [/tex],
Intrucat fiecare din cele doua fractii sunt pozitive si subunitare, pentru orice x>=0.