Question

Va rog, daca se poate acest exercitiu

[tex] \sqrt{1.(a) + 2.(b)}

Determinati cifrele nenule si distincte a si b pentru ca nr dat sa fie rational

Answer 1

$\it \sqrt{1,(a)+2,(b)}=\sqrt{1+0,(a)+2+0,(b)}=\sqrt{3+\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{9}}=\\ \\ \\ =\sqrt{3+\dfrac{a+b}{9}}\ \in\ \mathbb{Q}\ \Rightarrow a+b=9\ \ \ \ \ \ (*)\\ \\ \\ (*) \Rightarropw \Rightarrow (a,\ b)\in\{(1,\ 8);\ (2,\ 7);\ (3,\ 6);\ (4,\ 5);\ (5,\ 4);\ (6,\ 3);\ (7,\ 2);\ (8,\ 1)\}$

Answer 2

$1,(a)+2,(b)=1+0,(a)+2+0,(b)=3+0,(a)+0,(b)$

A se observa ca valoarea maxima pentru  $0,(a)+0,(b)$  cu $a$ si $b$ nenule si distincte este
$0,(9)+0,(8)=\frac{9}{9}+\frac{8}{9}=\frac{17}{9}=1,(8)$

iar valoarea minima este
$0,(1)+0,(2)=\frac{1}{9}+\frac{2}{9}=\frac{3}{9}=0,(3)$

Inseamna ca valoarea maxima pentru $1,(a)+2,(b)$ este
$3+1,(8)=4,(8)$

iar valoarea minima este
$3+0,(3)=3,(3)$

Deci avem
$3,(3)\le1,(a)+2,(b)\le4,(8)$

Pentru ca radicalul sa fie rational, trebuie ca $1,(a)+2,(b)$ sa fie patrat perfect.
Singurul patrat perfect intre $3,(3)$ si $4,(8)$ este 4.
Deci
$1,(a)+2,(b)=4$

$3+0,(a)+0,(b)=4$

$0,(a)+0,(b)=1$

Dar asta se intampla doar daca $a+b=9$

Inseamna ca a si b pot fi:

a=1 si b=8 si invers

a=2 si b=7 si invers

a=3 si b=6 si invers

a=4 si b=5 si invers