Question

Va rog daca se poate cu desen .Multumesc!!!!

Fie triunghiul isoscel ABC, m(∡A)=120°. Fie M mijlocul laturii [AB]. Perpendiculara din M pe BC intersecteaza drepata AC in D, iar bisectoarea ∡-lui CDM taie latura [BC] in E. Aratati ca:
a). CD = 3AD;
b). BD ⊥ DC;
c). [EB] ≡ [EC];
d). EM ║ AC.

Answer 1

m(∡BAC)=120°  ⇒ m(∡ABC)=m(∡ACB)=(180°-120°)/2=30°
AB=AC
BM=AM
MN_I_BC
a)
m(∡MAD)=180°-120°=60°
m(∡BMN)=90°-30°=60°  rezulta ca m(∡ADM)=180°-60°-60°=60° deci triunghiul ADM este echilateral deci DM=AD=AM =AB/2
dar AB=AC ⇒AD=AC/2  ⇒AC=2AD  deci CD=AD+AC=3AD 

b)DM=BM ⇒ triunghiul BMD isoscel
m(∡BMD)=180°-m(∡BMN)=180°-60°=120° ⇒
m(∡MDB)=m(∡MBD)=(180°-120°)/2=60°/2=30°
m(∡BDA)=m(∡BDM)+m(∡ADM)=30°+60°=90°

c)triunghiul BDE este echilateral deoarece
m(∡DBE)=m(∡BED)=m(∡BDE)=60° ⇒ BD=DE=BE
triunghiul DEC este isoscel deoarece m(∡EDC)=m(∡ECD)=30° rezulta DE=EC  dar DE=BE ⇒[BE]=[EC]

d)
in triunghiul BDE
BM bisectoarea unghiului DBE
DM bisectoarea unghiului BDE
M devine punctul de intersectie al bisectoarelor deci si EM este bisectoarea unghiului DEB  ⇒ m(∡MEB)=60°/2=30°
                               m(∡BCD)=30° ⇒ ∡MEB si∡BCDunghiuri corespondente)
⇒EM II AC