Question

Va rog dau coroana exercitiul 41​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$f(x) = x + \left( {x}^{2} + 1 \right) {e}^{x}$

a) prima derivată:

$f'(x) = \left(x + ({x}^{2} + 1 \right) {e}^{x} )' = x' + \left(({x}^{2} + 1 \right) {e}^{x} )' \\ = 1 + \left({x}^{2} + 1 \right)' {e}^{x} + \left({e}^{x} \right)' ({x}^{2} + 1) \\ = 1 + 2x{e}^{x} + ({x}^{2} + 1){e}^{x} = {e}^{x}(x + 1)^{2} + 1$

$f'(x) > 0$

=> f(x) este crescătoare pe R

b) limita:

$f(0) = 0 + (0 + 1)e^{0} = 1$

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x) - 1}{x} \\ = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\left(f(x) -1\right)'}{x'} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\left(f(x)\right)' - 1'}{1} \\ = \lim_{x\rightarrow 0}\left( {e}^{x} {(x + 1)}^{2} + 1 \right) = 1 + 1 = 2$

c) intervale de concavitate și convexitate:

derivata a doua

$f''(x) = \left(f'(x)\right)' = \left({e}^{x} {(x + 1)}^{2} + 1 \right)' \\ = \left({e}^{x} {(x + 1)}^{2} \right)' + 1' = \left({e}^{x} \right)'{(x + 1)}^{2} + \left( {(x + 1)}^{2} \right)' {e}^{x} \\ = {e}^{x}{(x + 1)}^{2} + 2(x + 1) {e}^{x} = (x + 1)(x + 3) {e}^{x}$

$f''(x) = 0 => (x + 1)(x + 3){e}^{x} = 0$

.

$x + 1 = 0 => x = -1$

$f(-1) = 2{e}^{-x} - 1= > \left(-1 ; 2{e}^{-x} - 1\right)$

.

$x + 3 = 0 => x = -3$

$f(-3) = 10{e}^{-3x} - 3 => \left(-3 ; 10{e}^{-3x} - 3\right)$

=>

$- \infty < x < - 3 = > f(x) \: convexa$

$- 3 < x < - 1 = > f(x) \: concava$

$- 1 < x + \infty = > f(x) \: convexa$