Question

Va rog. Dau coroana si 25 de puncte! Daca raspunsul nu corespunde cerintelor, punctele se vor retrage... Atentie sunt doua probleme intr-una!
Aratati ca intr-un patrulater inscriptibil doua laturi consecutive sunt congruente daca si numai daca unul dintre unghiurile patrulaterului este congruent cu unghiul format de diagonale.

Answer 1

Desenez un cerc și fixez, în sens trigonometric, punctele A,  B,  C,  D pe cerc,

 astfel încât  arcele DA și CD să fie egale.

Unesc cele petru puncte și se formează patrulaterul ABCD, cu  două laturi

consecutive congruente, [DA] ≡ [CD].

Știm că la coarde congruente corespund arce congruente, și invers.

Unghiul AOD este un unghi format in interiorul cercului de  coardele

AC și BD (diagonalele patrulaterului) .

m(∡AOD) = (1/2)· [m(arcDA) + m(arcBC)]       (1)

Dar, [DA] ≡ [CD] ⇔ m(arcDA) = m(arcCD)      (2)

(1), (2) ⇒m(∡AOD) = (1/2)· [m(arcCD) + m(arcBC)]  = (1/2)m(arcBD) = m(∡DAB).

 

Answer 2

Avem un cerc și patrulaterul ABCD înscris (notație trigonometrică).

AC ∩ BD = {O}

[tex]\it m(\widehat{DAB}) = \dfrac{m(\stackrel{ \frown}{BD})}{2}= \dfrac{m(\stackrel{ \frown}{BC})+m(\stackrel{ \frown}{CD}) }{2} \\\;\\ \\\;\\ m(\widehat{AOD}) = \dfrac{m(\stackrel{ \frown}{BC})+m(\stackrel{ \frown}{DA}) }{2} [/tex]


[tex]\it m(\widehat{AOD}) = m(\widehat{DAB}) \Leftrightarrow \dfrac{m(\stackrel{ \frown}{BC})+m(\stackrel{ \frown}{DA}) }{2} = \dfrac{m(\stackrel{ \frown}{BC})+m(\stackrel{ \frown}{CD}) }{2} \Leftrightarrow \\\;\\ \\\;\\ \Leftrightarrow m(\stackrel{ \frown}{BC})+m(\stackrel{ \frown}{DA} )= m(\stackrel{ \frown}{BC})+m(\stackrel{ \frown}{CD})} \Leftrightarrow m(\stackrel{ \frown}{DA} ) = m(\stackrel{ \frown}{CD})} \Leftrightarrow \\\;\\ \\\;\\ \Leftrightarrow [DA] \equiv [CD] [/tex]